Matematica discreta Esempi

$2 p - 2 \sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $4$ da $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 p^{3}$ .

$4 (p^{3}) + 16 p^{2} + 28 p - 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $4$ da $16 p^{2}$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 28 p - 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $4$ da $28 p$ .

$4 (p^{3}) + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) - 48 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $4$ da $- 48$ .

$4 p^{3} + 4 (4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 p^{3} + 4 (4 p^{2})$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (p^{3} + 4 p^{2}) + 4 (7 p)$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p) + 4 \cdot - 12$ .

$4 (p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$1 + 4 + 7 \cdot 1 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.5

Somma $1$ e $4$ .

$5 + 7 \cdot 1 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.6

Moltiplica $7$ per $1$ .

$5 + 7 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.7

Somma $5$ e $7$ .

$12 - 12$

Passaggio 2.2.2.1.3.8

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 2.2.2.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $p - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12}{p - 1}$

Passaggio 2.2.2.1.5

Dividi $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ per $p - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$p$

$1$

$p^{3}$

$4 p^{2}$

$7 p$

$12$

Passaggio 2.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $p^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $p$ .

					$p^{2}$
	$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$

Passaggio 2.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			+	$p^{3}$	-	$p^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $p^{3} - p^{2}$

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$p^{2}$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Passaggio 2.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 p^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$

Passaggio 2.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					+	$5 p^{2}$	-	$5 p$

Passaggio 2.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 p^{2} - 5 p$

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$

Passaggio 2.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$

Passaggio 2.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$p^{2}$	+	$5 p$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Passaggio 2.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 p$ per il termine di ordine più alto nel divisore $p$ .

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$

Passaggio 2.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							+	$12 p$	-	$12$

Passaggio 2.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 p - 12$

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$

Passaggio 2.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$p^{2}$	+	$5 p$	+	$12$
$p$	-	$1$		$p^{3}$	+	$4 p^{2}$	+	$7 p$	-	$12$
			-	$p^{3}$	+	$p^{2}$
					+	$5 p^{2}$	+	$7 p$
					-	$5 p^{2}$	+	$5 p$
							+	$12 p$	-	$12$
							-	$12 p$	+	$12$
										$0$

Passaggio 2.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$p^{2} + 5 p + 12$

Passaggio 2.2.2.1.6

Scrivi $p^{3} + 4 p^{2} + 7 p - 12$ come insieme di fattori.

$4 ((p - 1) (p^{2} + 5 p + 12)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$p - 1 = 0$

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $p - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $p - 1$ uguale a $0$ .

$p - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$p = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $p^{2} + 5 p + 12$ uguale a $0$ e risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $p^{2} + 5 p + 12$ uguale a $0$ .

$p^{2} + 5 p + 12 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $p^{2} + 5 p + 12 = 0$ per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 12$ nella formula quadratica e risolvi per $p$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $48$ da $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $48$ da $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$p = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Passaggio 2.5.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $48$ da $25$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$p = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$p = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{23}$ .

$p = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$p = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$p = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$p = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (p - 1) (p^{2} + 5 p + 12) = 0$ vera.

$p = 1, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Passaggio 2.7

Identifica il coefficiente direttivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$4 p^{3}$

Passaggio 2.7.2

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$4$

Passaggio 2.8

Poiché non c'è nessuna reale intercetta di x e il coefficiente direttivo è positivo, la parabola si apre in alto e $4 p^{3} + 16 p^{2} + 28 p - 48$ è sempre maggiore di $0$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${p | p \in ℝ}$

Passaggio 4