Matematica discreta Esempi

$\frac{\frac{x - 4}{x^{2} - x}}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{x - 4}{x^{2} - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 2

Scomponi $x$ da $x^{2} - x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x - x} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 2.2

Scomponi $x$ da $- x$ .

$\frac{x - 4}{x \cdot x + x \cdot - 1} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $3$ come $1$ più $2$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}}$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1

Per scrivere $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.2

Per scrivere $- \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\frac{x - 1}{(2 x + 1) (x + 1)}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$ per $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)}}$

Passaggio 5.3.3

Riordina i fattori di $(x + 1) (x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\frac{(x - 1) (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 5.5.1

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 1) - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.2.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - x - x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.2.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 2 x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.6

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 1 - 1}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.7

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x + 0}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.8

Somma $x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x^{2} - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.9

Scomponi $x$ da $x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 5.5.9.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x - 4 x}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.9.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 5.5.9.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{1}{\frac{x (x - 4)}{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}}$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} (1 \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)})$

Passaggio 7

Moltiplica $\frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$ per $1$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 4)}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $x - 4$ da $x (x - 4)$ .

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x - 4}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x - 4) x}$

Passaggio 8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x (x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 9.1

Scomponi $x - 1$ da $x (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)}{x}$

Passaggio 9.2

Scomponi $x - 1$ da $(2 x + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x - 1) x} \cdot \frac{(x - 1) ((2 x + 1) (x + 1))}{x}$

Passaggio 9.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x \cdot x}$

Passaggio 11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x}$

Passaggio 12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 14

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2}}$