Matematica discreta Esempi

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$

Passaggio 1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ per $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$

Passaggio 2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3}$ per $\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}$

Passaggio 2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 3 + 3 \sqrt{x} - 9}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9}$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 9}$

Passaggio 2.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Passaggio 2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{\frac{2}{2}} - 9}$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x^{1} - 9}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Passaggio 3

Espandi $(3 \sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 3) + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $3 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{x}}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{1} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica.

$\frac{3 x + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 2 \cdot - 3}{x - 9}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Passaggio 4.2

Somma $- 9 \sqrt{x}$ e $2 \sqrt{x}$ .

$\frac{3 x - 7 \sqrt{x} - 6}{x - 9}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $x$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.3

Sia $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{1}{2}}$ con $u$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 u - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ e la cui somma è $b = - 7$ .

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Passaggio 5.4.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 u$ .

$\frac{3 u^{2} - 7 (u) - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.4.1.2

Riscrivi $- 7$ come $2$ più $- 9$ .

$\frac{3 u^{2} + (2 - 9) u - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 u^{2} + 2 u - 9 u - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(3 u^{2} + 2 u) - 9 u - 6}{x - 9}$

Passaggio 5.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{u (3 u + 2) - 3 (3 u + 2)}{x - 9}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 u + 2$ .

$\frac{(3 u + 2) (u - 3)}{x - 9}$

Passaggio 5.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} + 2) (x^{\frac{1}{2}} - 3)}{x - 9}$