Matematica discreta Esempi

$16000 {(1 + r)}^{2} = 25000$

Passaggio 1

Sottrai $25000$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16000 {(1 + r)}^{2} - 25000 = 0$

Passaggio 2

Semplifica $16000 {(1 + r)}^{2} - 25000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(1 + r)}^{2}$ come $(1 + r) (1 + r)$ .

$16000 ((1 + r) (1 + r)) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(1 + r) (1 + r)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$16000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$16000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $r$ per $1$ .

$16000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $r$ per $1$ .

$16000 (1 + r + r + r \cdot r) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.4

Moltiplica $r$ per $r$ .

$16000 (1 + r + r + r^{2}) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $r$ e $r$ .

$16000 (1 + 2 r + r^{2}) - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$16000 \cdot 1 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Moltiplica $16000$ per $1$ .

$16000 + 16000 (2 r) + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $16000$ .

$16000 + 32000 r + 16000 r^{2} - 25000 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $25000$ da $16000$ .

$32000 r + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $1000$ da $32000 r + 16000 r^{2} - 9000$ .

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Passaggio 3.1

Scomponi $1000$ da $32000 r$ .

$1000 (32 r) + 16000 r^{2} - 9000 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $1000$ da $16000 r^{2}$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) - 9000 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $1000$ da $- 9000$ .

$1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $1000$ da $1000 (32 r) + 1000 (16 r^{2})$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9) = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi $1000$ da $1000 (32 r + 16 r^{2}) + 1000 (- 9)$ .

$1000 (32 r + 16 r^{2} - 9) = 0$

Passaggio 4

Sia $u = r$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $r$ con $u$ .

$1000 (32 u + 16 u^{2} - 9) = 0$

Passaggio 5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1

Riordina i termini.

$1000 (16 u^{2} + 32 u - 9) = 0$

Passaggio 5.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 16 \cdot - 9 = - 144$ e la cui somma è $b = 32$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $32$ da $32 u$ .

$1000 (16 u^{2} + 32 (u) - 9) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $32$ come $- 4$ più $36$ .

$1000 (16 u^{2} + (- 4 + 36) u - 9) = 0$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$1000 (16 u^{2} - 4 u + 36 u - 9) = 0$

Passaggio 5.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$1000 ((16 u^{2} - 4 u) + 36 u - 9) = 0$

Passaggio 5.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$1000 (4 u (4 u - 1) + 9 (4 u - 1)) = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$1000 ((4 u - 1) (4 u + 9)) = 0$

Passaggio 6

Scomponi.

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Passaggio 6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r$ .

$1000 ((4 r - 1) (4 r + 9)) = 0$

Passaggio 6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$

Passaggio 7

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

$4 r + 9 = 0$

Passaggio 8

Imposta $4 r - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $4 r - 1$ uguale a $0$ .

$4 r - 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $4 r - 1 = 0$ per $r$ .

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Passaggio 8.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 r = 1$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 r = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 r = 1$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 r}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 8.2.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{1}{4}$

Passaggio 9

Imposta $4 r + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $4 r + 9$ uguale a $0$ .

$4 r + 9 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $4 r + 9 = 0$ per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 r = - 9$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 r = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 r = - 9$ .

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 r}{4} = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$r = - \frac{9}{4}$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $1000 (4 r - 1) (4 r + 9) = 0$ vera.

$r = \frac{1}{4}, - \frac{9}{4}$