Matematica discreta Esempi

$f (x) = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

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Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = 0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$ .

$0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $0.1$ da $0.1 x^{3} - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $0.1$ da $0.1 x^{3}$ .

$0.1 (x^{3}) - 0.3 x^{2} - 1.8 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $0.1$ da $- 0.3 x^{2}$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) - 1.8 x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $0.1$ da $- 1.8 x$ .

$0.1 (x^{3}) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $0.1$ da $4$ .

$0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $0.1$ da $0.1 x^{3} + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scomponi $0.1$ da $0.1 (x^{3} - 3 x^{2}) + 0.1 (- 18 x)$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.7

Scomponi $0.1$ da $0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x) + 0.1 \cdot 40$ .

$0.1 (x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

Passaggio 1.2.2.2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.2.2.2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} - 18 \cdot 2 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.4

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$8 - 12 - 18 \cdot 2 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.5

Sottrai $12$ da $8$ .

$- 4 - 18 \cdot 2 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.6

Moltiplica $- 18$ per $2$ .

$- 4 - 36 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.7

Sottrai $36$ da $- 4$ .

$- 40 + 40$

Passaggio 1.2.2.2.3.8

Somma $- 40$ e $40$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40}{x - 2}$

Passaggio 1.2.2.2.5

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ per $x - 2$ .

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Passaggio 1.2.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$18 x$

$40$

Passaggio 1.2.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$

Passaggio 1.2.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Passaggio 1.2.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$

Passaggio 1.2.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.2.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.2.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$

Passaggio 1.2.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Passaggio 1.2.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$

Passaggio 1.2.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	+	$40$

Passaggio 1.2.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 20 x + 40$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$

Passaggio 1.2.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$18 x$	+	$40$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$18 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	-	$40$
										$0$

Passaggio 1.2.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 20$

Passaggio 1.2.2.2.6

Scrivi $x^{3} - 3 x^{2} - 18 x + 40$ come insieme di fattori.

$0.1 ((x - 2) (x^{2} - x - 20)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.1

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 5, 4$

Passaggio 1.2.2.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$0.1 ((x - 2) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$0.1 ((x - 2) (x - 5) (x + 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $0.1 (x - 2) (x - 5) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 2, 5, - 4$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

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Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0.1 \cdot 0^{3} - 0.3 \cdot 0^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $0.1 {(0)}^{3} - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0.1 \cdot 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $0.1$ per $0$ .

$y = 0 - 0.3 {(0)}^{2} - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 0.3 \cdot 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $- 0.3$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 1.8 \cdot 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.1.5

Moltiplica $- 1.8$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 4$

Passaggio 2.2.4.2.3

Somma $0$ e $4$ .

$y = 4$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, 4)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(2, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, 4)$

Passaggio 4