Matematica discreta Esempi

y = e^{- x} \cdot ln (x)

$y = e^{- x} \cdot \ln (x)$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione

e^{- x} \cdot ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$ è indefinita.

x \leq 0

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché

e^{- x} \cdot ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ da sinistra e

e^{- x} \cdot ln (x)

$e^{- x} \cdot \ln (x)$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ da destra, allora

x = 0

$x = 0$ è un asintoto verticale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 1.3

Calcola

lim x \to \infty e^{- x} ln (x)

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x)$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi

e^{- x} ln (x)

$e^{- x} \ln (x)$ come

\frac{ln (x)}{e^{x}}

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{ln (x)}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

\frac{lim x \to \infty ln (x)}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.1.3

Poiché l'esponente

x

$x$ tende a

\infty

$\infty$ , la quantità

e^{x}

$e^{x}$ tende a

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.3.2.2

Poiché

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

lim x \to \infty \frac{ln (x)}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2.3.2

La derivata di

ln (x)

$\ln (x)$ rispetto a

x

$x$ è

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 1.3.2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ dove

a

$a$ =

e

$e$ .

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

lim x \to \infty \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Passaggio 1.3.2.5

Moltiplica

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ per

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ .

lim x \to \infty \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{1}{x e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x e^{x}}$

Passaggio 1.3.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

\frac{1}{x e^{x}}

$\frac{1}{x e^{x}}$ tende a

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Passaggio 1.4

Elenca gli asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali:

x = 0

$x = 0$

Asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Asintoti verticali:

x = 0

$x = 0$

Asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di

x = 1

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

1

$1$ nell'espressione.

f (1) = e^{- (1)} \cdot ln (1)

$f (1) = e^{- (1)} \cdot \ln (1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

1

$1$ .

f (1) = e^{- 1} \cdot ln (1)

$f (1) = e^{- 1} \cdot \ln (1)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot ln (1)

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1)$

Passaggio 2.2.3

Il logaritmo naturale di

1

$1$ è

0

$0$ .

f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0

$f (1) = \frac{1}{e} \cdot 0$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ per

0

$0$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Passaggio 2.3

Converti

0

$0$ in decimale.

y = 0

$y = 0$

y = 0

$y = 0$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di

x = 2

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

2

$2$ nell'espressione.

f (2) = e^{- (2)} \cdot ln (2)

$f (2) = e^{- (2)} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

f (2) = e^{- 2} \cdot ln (2)

$f (2) = e^{- 2} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot ln (2)

$f (2) = \frac{1}{e^{2}} \cdot \ln (2)$

Passaggio 3.2.3

\frac{1}{e^{2}}

$\frac{1}{e^{2}}$ e

ln (2)

$\ln (2)$ .

f (2) = \frac{ln (2)}{e^{2}}

$f (2) = \frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Passaggio 3.2.4

La risposta finale è

\frac{ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ .

\frac{ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

\frac{ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$

Passaggio 3.3

Converti

\frac{ln (2)}{e^{2}}

$\frac{\ln (2)}{e^{2}}$ in decimale.

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

y = 0.09380727

$y = 0.09380727$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di

x = 3

$x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

3

$3$ nell'espressione.

f (3) = e^{- (3)} \cdot ln (3)

$f (3) = e^{- (3)} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

3

$3$ .

f (3) = e^{- 3} \cdot ln (3)

$f (3) = e^{- 3} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo

b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot ln (3)

$f (3) = \frac{1}{e^{3}} \cdot \ln (3)$

Passaggio 4.2.3

\frac{1}{e^{3}}

$\frac{1}{e^{3}}$ e

ln (3)

$\ln (3)$ .

f (3) = \frac{ln (3)}{e^{3}}

$f (3) = \frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è

\frac{ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ .

\frac{ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

\frac{ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$

Passaggio 4.3

Converti

\frac{ln (3)}{e^{3}}

$\frac{\ln (3)}{e^{3}}$ in decimale.

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

y = 0.05469668

$y = 0.05469668$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in

x = 0

$x = 0$ e i punti

(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)

$(1, 0), (2, 0.09380727), (3, 0.05469668)$ .

Asintoto verticale:

x = 0

$x = 0$

\begin{matrix} x & y 1 & 0 2 & 0.094 3 & 0.055 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.094 \\ 3 & 0.055 \end{array}$

Passaggio 6