Matematica discreta Esempi

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ è indefinita.

$x \leq - 5, x = 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da sinistra e $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da destra, allora $x = - 5$ è un asintoto verticale.

$x = - 5$

Passaggio 1.3

Poiché $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 5, 0$

Passaggio 1.5

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Passaggio 1.7

Poiché $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

$y = 0$

Passaggio 1.8

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 5, 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Asintoti verticali: $x = - 5, 0$

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica $5 \ln (1 + 5)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma $1$ e $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Passaggio 2.2.3.2

Eleva $6$ alla potenza di $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Passaggio 2.2.4

Dividi $\ln (7776)$ per $1$ .

$f (1) = \ln (7776)$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è $\ln (7776)$ .

$\ln (7776)$

Passaggio 2.3

Converti $\ln (7776)$ in decimale.

$y = 8.95879734$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $5 \ln (2 + 5)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Somma $2$ e $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva $7$ alla potenza di $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi $\frac{\ln (16807)}{4}$ come $\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica $\frac{1}{4} \ln (16807)$ spostando $\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3.3

Converti $\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ in decimale.

$y = 2.43238768$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica $5 \ln (3 + 5)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Somma $3$ e $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Passaggio 4.2.3.2

Eleva $8$ alla potenza di $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi $\ln (32768)$ come $\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Passaggio 4.2.5

Espandi $\ln (2^{15})$ spostando $15$ fuori dal logaritmo.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di $15$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Scomponi $3$ da $15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Passaggio 4.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Passaggio 4.2.7

Semplifica $5 \ln (2)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Passaggio 4.2.8

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Passaggio 4.2.9

Riscrivi $\frac{\ln (32)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Passaggio 4.2.10

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (32)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.2.11

La risposta finale è $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.3

Converti $\ln (32^{\frac{1}{3}})$ in decimale.

$y = 1.1552453$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in $x = - 5, 0$ e i punti $(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Asintoto verticale: $x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Passaggio 6