Matematica discreta Esempi

y = \frac{5 ln (x + 5)}{x^{2}}

$y = \frac{5 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$ è indefinita.

x \leq - 5, x = 0

$x \leq - 5, x = 0$

Passaggio 1.2

Poiché

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ da sinistra e

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

- 5

$- 5$ da destra, allora

x = - 5

$x = - 5$ è un asintoto verticale.

x = - 5

$x = - 5$

Passaggio 1.3

Poiché

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ da sinistra e

\frac{ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}

$\frac{\ln ({(x + 5)}^{5})}{x^{2}}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ con

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ da destra, allora

x = 0

$x = 0$ è un asintoto verticale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 1.4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

Passaggio 1.5

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove

n

$n$ è il grado del numeratore e

m

$m$ è il grado del denominatore.

1. Se

n < m

$n < m$ , l'asse x,

y = 0

$y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se

n = m

$n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Se

n > m

$n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.6

Trova

n

$n$ e

m

$m$ .

n = 0

$n = 0$

m = 2

$m = 2$

Passaggio 1.7

Poiché

n < m

$n < m$ , l'asse x,

y = 0

$y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

y = 0

$y = 0$

Passaggio 1.8

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

Asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Asintoti verticali:

x = - 5, 0

$x = - 5, 0$

Asintoti orizzontali:

y = 0

$y = 0$

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di

x = 1

$x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

1

$1$ nell'espressione.

f (1) = \frac{5 ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}

$f (1) = \frac{5 \ln ((1) + 5)}{{(1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica

5 ln (1 + 5)

$5 \ln (1 + 5)$ spostando

5

$5$ all'interno del logaritmo.

f (1) = \frac{ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

f (1) = \frac{ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln ({(1 + 5)}^{5})}{1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Somma

1

$1$ e

5

$5$ .

f (1) = \frac{ln (6^{5})}{1}

$f (1) = \frac{\ln (6^{5})}{1}$

Passaggio 2.2.3.2

Eleva

6

$6$ alla potenza di

5

$5$ .

f (1) = \frac{ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

f (1) = \frac{ln (7776)}{1}

$f (1) = \frac{\ln (7776)}{1}$

Passaggio 2.2.4

Dividi

ln (7776)

$\ln (7776)$ per

1

$1$ .

f (1) = ln (7776)

$f (1) = \ln (7776)$

Passaggio 2.2.5

La risposta finale è

ln (7776)

$\ln (7776)$ .

ln (7776)

$\ln (7776)$

ln (7776)

$\ln (7776)$

Passaggio 2.3

Converti

ln (7776)

$\ln (7776)$ in decimale.

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

y = 8.95879734

$y = 8.95879734$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di

x = 2

$x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

2

$2$ nell'espressione.

f (2) = \frac{5 ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) + 5)}{{(2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica

5 ln (2 + 5)

$5 \ln (2 + 5)$ spostando

5

$5$ all'interno del logaritmo.

f (2) = \frac{ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{2^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Eleva

2

$2$ alla potenza di

2

$2$ .

f (2) = \frac{ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln ({(2 + 5)}^{5})}{4}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Somma

2

$2$ e

5

$5$ .

f (2) = \frac{ln (7^{5})}{4}

$f (2) = \frac{\ln (7^{5})}{4}$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva

7

$7$ alla potenza di

5

$5$ .

f (2) = \frac{ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

f (2) = \frac{ln (16807)}{4}

$f (2) = \frac{\ln (16807)}{4}$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi

\frac{ln (16807)}{4}

$\frac{\ln (16807)}{4}$ come

\frac{1}{4} ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ .

f (2) = \frac{1}{4} \cdot ln (16807)

$f (2) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16807)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica

\frac{1}{4} ln (16807)

$\frac{1}{4} \ln (16807)$ spostando

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ all'interno del logaritmo.

f (2) = ln (16807^{\frac{1}{4}})

$f (2) = \ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è

ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ .

ln (16807^{\frac{1}{4}})

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$

Passaggio 3.3

Converti

$\ln (16807^{\frac{1}{4}})$ in decimale.

$y = 2.43238768$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di

$x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{5 \ln ((3) + 5)}{{(3)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica

$5 \ln (3 + 5)$ spostando

$5$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{3^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (3) = \frac{\ln ({(3 + 5)}^{5})}{9}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Somma

$3$ e

$5$ .

$f (3) = \frac{\ln (8^{5})}{9}$

Passaggio 4.2.3.2

Eleva

$8$ alla potenza di

$5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32768)}{9}$

Passaggio 4.2.4

Riscrivi

$\ln (32768)$ come

$\ln (2^{15})$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{15})}{9}$

Passaggio 4.2.5

Espandi

$\ln (2^{15})$ spostando

$15$ fuori dal logaritmo.

$f (3) = \frac{15 \ln (2)}{9}$

Passaggio 4.2.6

Elimina il fattore comune di

$15$ e

$9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Scomponi

$3$ da

$15 \ln (2)$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{9}$

Passaggio 4.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.2.1

Scomponi

$3$ da

$9$ .

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 (3)}$

Passaggio 4.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{3 (5 \ln (2))}{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = \frac{5 \ln (2)}{3}$

Passaggio 4.2.7

Semplifica

$5 \ln (2)$ spostando

$5$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \frac{\ln (2^{5})}{3}$

Passaggio 4.2.8

Eleva

$2$ alla potenza di

$5$ .

$f (3) = \frac{\ln (32)}{3}$

Passaggio 4.2.9

Riscrivi

$\frac{\ln (32)}{3}$ come

$\frac{1}{3} \ln (32)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (32)$

Passaggio 4.2.10

Semplifica

$\frac{1}{3} \ln (32)$ spostando

$\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (3) = \ln (32^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.2.11

La risposta finale è

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4.3

Converti

$\ln (32^{\frac{1}{3}})$ in decimale.

$y = 1.1552453$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente utilizzando l'asintoto verticale in

$x = - 5, 0$ e i punti

$(1, 8.95879734), (2, 2.43238768), (3, 1.1552453)$ .

Asintoto verticale:

$x = - 5, 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 8.959 \\ 2 & 2.432 \\ 3 & 1.155 \end{array}$

Passaggio 6