Matematica discreta Esempi

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = 11$

Passaggio 1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y - 11 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = y^{2} + 4 y - 11$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (y^{2} + 4 y - 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 4 (4 y) - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

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Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 y^{2} - 16 y + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Somma $4$ e $44$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 y^{2} - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $4$ da $- 4 y^{2} - 16 y + 48$ .

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Passaggio 4.1.6.1.1

Scomponi $4$ da $- 4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) - 16 y + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Scomponi $4$ da $- 16 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.3

Scomponi $4$ da $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.4

Scomponi $4$ da $4 (- y^{2}) + 4 (- 4 y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.1.5

Scomponi $4$ da $4 (- y^{2} - 4 y) + 4 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1.6.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 4.1.6.2.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} - 4 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.1.2

Riscrivi $- 4$ come $2$ più $- 6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + (2 - 6) y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y^{2} + 2 y - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.1.6.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y^{2} + 2 y) - 6 y + 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (y (- y + 2) + 6 (- y + 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- y + 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $4 (- y + 2) (y + 6)$ come $2^{2} ((- y + 2) (y + 6))$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.7.2

Aggiungi le parentesi.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 2) (y + 6))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$

$x = - 1 - \sqrt{(- y + 2) (y + 6)}$