Matematica discreta Esempi

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Passaggio 2

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{2} - 7 x + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Passaggio 3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$(x - 4) (x - 3)$

Passaggio 4

Moltiplica per $(x - 4) (x - 3)$ ciascun termine in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ per $(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $(x - 4) (x - 3)$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.2

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Espandi $(x - 4) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $4 x$ da $- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

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Passaggio 4.3.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Passaggio 4.3.4.2

Sposta $12$ alla sinistra di $y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 5.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Passaggio 5.2

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Passaggio 5.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori $a = y - 1$ , $b = - 7 y$ e $c = 12 y + 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.6.1

Applica la regola del prodotto a $- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.2

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.5

Espandi $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.6.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.6.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.6.6.1.2.1

Sposta $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.3

Moltiplica $- 4$ per $12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.5

Moltiplica $12$ per $4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.2

Somma $- 4 y$ e $48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.7

Sottrai $48 y^{2}$ da $49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$