Matematica discreta Esempi

y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Passaggio 2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = x$ e

$b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

Passaggio 2.3

Scomponi

$x^{2} - 7 x + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$12$ e la cui somma è

$- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 2.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

Passaggio 3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x - 4) (x - 3), 1$

Passaggio 3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$(x - 4) (x - 3)$

Passaggio 4

Moltiplica per

$(x - 4) (x - 3)$ ciascun termine in

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ per

$(x - 4) (x - 3)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di

$(x - 4) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.2

Espandi

$(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.2

Sposta

$- 1$ alla sinistra di

$x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.3

Riscrivi

$- 1 x$ come

$- x$ .

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.4

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.2

Somma

$- x$ e

$x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.2.3.3

Somma

$x^{2}$ e

$0$ .

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Espandi

$(x - 4) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Passaggio 4.3.2.1.2

Sposta

$- 3$ alla sinistra di

$x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica

$- 4$ per

$- 3$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai

$4 x$ da

$- 3 x$ .

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

Passaggio 4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

Passaggio 4.3.4.2

Sposta

$12$ alla sinistra di

$y$ .

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché

$x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

Passaggio 5.2

Sottrai

$x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

Passaggio 5.3

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori

$a = y - 1$ ,

$b = - 7 y$ e

$c = 12 y + 1$ nella formula quadratica e risolvi per

$x$ .

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Applica la regola del prodotto a

$- 7 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.2

Eleva

$- 7$ alla potenza di

$2$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.4

Moltiplica

$- 4$ per

$- 1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.5

Espandi

$(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.2

Moltiplica

$y$ per

$y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.6.1.2.1

Sposta

$y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.2.2

Moltiplica

$y$ per

$y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.3

Moltiplica

$- 4$ per

$12$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.4

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.5

Moltiplica

$12$ per

$4$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.1.6

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.6.2

Somma

$- 4 y$ e

$48 y$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.6.7

Sottrai

$48 y^{2}$ da

$49 y^{2}$ .

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$