Matematica discreta Esempi

$\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (2 x + 1) + \ln (x) = 2$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 1) x) = 2$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 1 x) = 2$

Passaggio 4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 1 x) = 2$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 1 x) = 2$

Passaggio 5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x) = 2$

Passaggio 6

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (2 x^{2} + x)} = e^{2}$

Passaggio 7

Riscrivi $\ln (2 x^{2} + x) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + x$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2} + x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + x = e^{2}$

Passaggio 8.2

Sottrai $e^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + x - e^{2} = 0$

Passaggio 8.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 8.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 1$ e $c = - e^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

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Passaggio 8.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Passaggio 8.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Passaggio 8.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Passaggio 9

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (2 x + 1) = 2 - \ln (x)$ vera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{1 + 8 e^{2}}}{4}$

Forma decimale:

$x = 1.68830545 \dots$