Matematica discreta Esempi

$a (n) = \frac{1}{3} \cdot (1 - {(- \frac{1}{2})}^{n - 1})$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1}))$

Passaggio 1.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 - ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}))$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{n - 1}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot - 1 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{n - 1}$ per $- 1$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n - 1 + 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.1.2.3

Combina i termini opposti in $n - 1 + 1$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n + 0} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.1.2.3.2

Somma $n$ e $0$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.1.4

${(- 1)}^{n}$ e $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a n = \frac{1}{3} \cdot (1 + \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$a n = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{2^{n - 1}}$

Passaggio 1.4

Combina.

$a n = \frac{1}{3} + \frac{1 {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Passaggio 1.5

Moltiplica ${(- 1)}^{n}$ per $1$ .

$a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$

Passaggio 2

Dividi per $n$ ciascun termine in $a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $n$ ciascun termine in $a n = \frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ .

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $n$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a n}{n} = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{\frac{1}{3}}{n} + \frac{\frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{\frac{1}{3} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.1

Per scrivere $\frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2^{n - 1}}{2^{n - 1}}$ .

$a = \frac{\frac{2^{n - 1}}{3 \cdot 2^{n - 1}} + \frac{{(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}}{n}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}} \cdot \frac{1}{n}$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1}}$ per $\frac{1}{n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$

Passaggio 2.3.5

Riordina i fattori in $\frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 1} n}$ .

$a = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 n \cdot 2^{n - 1}}$