Matematica discreta Esempi

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)) - \log_{b} (20)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1

Moltiplica $\frac{2}{3} (\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25))$ .

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Passaggio 1.1.1.1

$\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ e $\frac{2}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3} \log_{b} (25) - \log_{b} (20)$

Passaggio 1.1.1.2

$\frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2}{3}$ e $\log_{b} (25)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \cdot 2 \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 1.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\log_{b} (64 + \frac{1}{2})$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{2 \log_{b} (64 + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$ .

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Passaggio 2.1.1

Per scrivere $64$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (64 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.2

$64$ e $\frac{2}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{64 \cdot 2 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $64$ per $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{128 + 1}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $128$ e $1$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (\frac{129}{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.5.1

Semplifica $2 \log_{b} (\frac{129}{2})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} ({(\frac{129}{2})}^{2}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.5.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{129}{2}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{129^{2}}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.5.2.2

Eleva $129$ alla potenza di $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{2^{2}}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 2.1.5.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} - \log_{b} (20)$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{b} (x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} + \log_{b} (20) = 0$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x \cdot 20) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Passaggio 5

Sposta $20$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{b} (20 x) - \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3} = 0$

Passaggio 6

Somma $\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$

Passaggio 7

Riscrivi $\log_{b} (20 x) = \frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}} = 20 x$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ .

$20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$

Passaggio 8.2

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ e semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 x = b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

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Passaggio 8.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x}{20} = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$

Passaggio 8.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{b^{\frac{\log_{b} (\frac{16641}{4}) \log_{b} (25)}{3}}}{20}$