Matematica discreta Esempi

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $128$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $2 x^{2} - 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 12}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 6}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 6$ per $1$ .

$d = - 6$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{8}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $576$ per $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 72$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $72$ .

$e = 0 - 72$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $72$ da $0$ .

$e = - 72$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

Passaggio 1.3

Sostituisci $2 x^{2} - 24 x$ con $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ nell'equazione $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

Passaggio 1.4

Sposta $- 72$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $72$ a entrambi i lati.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $4 y^{2} + 32 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{16}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$d = 4$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $1024$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$e = 0 - 64$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$e = - 64$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Passaggio 1.6

Sostituisci $4 y^{2} + 32 y$ con $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ nell'equazione $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

Passaggio 1.7

Sposta $- 64$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $64$ a entrambi i lati.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 128 + 72 + 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 128$ e $72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

Passaggio 1.8.2

Somma $- 56$ e $64$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

Passaggio 1.9

Dividi per $8$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(6, - 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sqrt{4 - 2}$

Passaggio 5.3.3.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(6 + 2, - 4)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(8, - 4)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(6 - (2), - 4)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(4, - 4)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

Passaggio 8.3.4

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10