Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 45 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- 8 x^{3} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3} + 24 x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- 8 x$ da $24 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 8 x$ da $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 12 x^{2} - 45 = 0$

Passaggio 2.1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 12 u - 45 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $u^{2} + 12 u - 45$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 45$ e la cui somma è $12$ .

$- 3, 15$

Passaggio 2.1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 8 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 15) = 0$

Passaggio 2.1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x^{2} - 3$ da $- 8 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

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Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x^{2} - 3$ da $- 8 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x^{2} - 3$ da $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 15)$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 x + x^{2} + 15) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$(x^{2} - 3) (- 8 u + u^{2} + 15) = 0$

Passaggio 2.1.9

Scomponi $- 8 u + u^{2} + 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 5, - 3$

Passaggio 2.1.9.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x^{2} - 3) ((u - 5) (u - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Scomponi.

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Passaggio 2.1.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 3) (x - 5) (x - 3) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 5$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 3$ (Molteplicità di $1$ )

$x = \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 5$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 3$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 3