Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$

Passaggio 1

Scomponi $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$f (x) = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = 16 - 3 \cdot 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$f (x) = 16 - 24 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $24$ da $16$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 2^{2} + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = - 8 - 6 \cdot 4 + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f (x) = - 8 - 24 + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $24$ da $- 8$ .

$f (x) = - 32 + 28 \cdot 2 - 24$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $28$ per $2$ .

$f (x) = - 32 + 56 - 24$

Passaggio 1.3.10

Somma $- 32$ e $56$ .

$f (x) = 24 - 24$

Passaggio 1.3.11

Sottrai $24$ da $24$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24}{x - 2}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - 2 x^{3}$

$f (x) =$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + 2 x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 16 x$

$f (x) =$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $12 x - 24$

$f (x) =$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{4} - 3 x^{3} - 6 x^{2} + 28 x - 24$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x - 2) (x^{3} - x^{2} - 8 x + 12)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$f (x) = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 2.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$f (x) = 2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (x) = 8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (x) = 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (x) = 8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $4$ da $8$ .

$f (x) = 4 - 8 \cdot 2 + 12$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f (x) = 4 - 16 + 12$

Passaggio 2.3.7

Sottrai $16$ da $4$ .

$f (x) = - 12 + 12$

Passaggio 2.3.8

Somma $- 12$ e $12$ .

$f (x) = 0$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}{x - 2}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$f (x) =$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

$f (x) =$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 2 x$

$f (x) =$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$f (x) =$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x + 12$

$f (x) =$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$f (x) =$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$f (x) = x^{2} + x - 6$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x^{2} + x - 6))$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + i x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $i$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$f (x) = - 2, 3$

Passaggio 3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) ((x - 2) (x + 3)))$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Passaggio 4

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Passaggio 4.1.2

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = (x - 2) ((x - 2) (x - 2) (x + 3))$

Passaggio 4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{1 + 1} (x + 3))$

Passaggio 4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f (x) = (x - 2) ({(x - 2)}^{2} (x + 3))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x - 2) {(x - 2)}^{2} (x + 3)$

Passaggio 5

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x) = {(x - 2)}^{1 + 2} (x + 3)$

Passaggio 5.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (x) = {(x - 2)}^{3} (x + 3)$