Matematica discreta Esempi

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} + 2 p^{2} w - 6 p^{3} - 1$

Passaggio 1

Semplifica e riordina il polinomio in ordine ascendente per usare la regola di Cartesio.

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Passaggio 1.1

Sposta $2 p^{2} w$ .

$- 18 p^{5} + 12 p^{5} w^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Passaggio 1.2

Riordina $- 18 p^{5}$ e $12 p^{5} w^{5}$ .

$12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Passaggio 2

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (p) = 12 p^{5} w^{5} - 18 p^{5} - 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Passaggio 3

Poiché ci sono $3$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $3$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(3 - 2)$ ).

Radici positive: $3$ o $1$

Passaggio 4

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $p$ con $- p$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- p) = 12 {(- p)}^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $- p$ .

$f (- p) = 12 ({(- 1)}^{5} p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- p) = 12 (- p^{5}) w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 {(- p)}^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 ({(- 1)}^{5} p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} - 18 (- p^{5}) - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 {(- p)}^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.7

Applica la regola del prodotto a $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 ({(- 1)}^{3} p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} - 6 (- p^{3}) + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.9

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 {(- p)}^{2} w - 1$

Passaggio 5.10

Applica la regola del prodotto a $- p$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} p^{2}) w - 1$

Passaggio 5.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 (1 p^{2}) w - 1$

Passaggio 5.12

Moltiplica $p^{2}$ per $1$ .

$f (- p) = - 12 p^{5} w^{5} + 18 p^{5} + 6 p^{3} + 2 p^{2} w - 1$

Passaggio 6

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici negative (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici negative sottraendo le coppie di radici (ad es. $2 - 2$ ).

Radici negative: $2$ o $0$

Passaggio 7

Il numero di radici positive possibili è $3$ o $1$ e il numero di radici negative possibili è $2$ o $0$ .

Radici positive: $3$ o $1$

Radici negative: $2$ o $0$