Matematica discreta Esempi

$x - 2 y + 3 z = - 1$ ,

$- 2 x + y - z = 2$ ,

$3 x - 3 y + 2 z = - 1$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 \\ - 2 & 1 & - 1 \\ 3 & - 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.2.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 2.2.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$- 1$ .

$1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai

$3$ da

$2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.2

Somma

$- 4$ e

$3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 2.5

Calcola

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 3$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3 \cdot 1)$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 (6 - 3)$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai

$3$ da

$6$ .

$1 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Passaggio 2.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$- 1 + 2 \cdot - 1 + 3 \cdot 3$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$- 1 - 2 + 3 \cdot 3$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$- 1 - 2 + 9$

Passaggio 2.6.2

Sottrai

$2$ da

$- 1$ .

$- 3 + 9$

Passaggio 2.6.3

Somma

$- 3$ e

$9$ .

$6$

$D = 6$

Passaggio 3

Since the determinant is not

$0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of

$x$ by Cramer's Rule, which states that

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column

$1$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$x$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 4.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (1 \cdot 2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$- 1 (2 - (- 3 \cdot - 1)) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$- 1$ .

$- 1 (2 - 1 \cdot 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$- 1 (2 - 3) + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai

$3$ da

$2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (2 \cdot 2 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - - - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.1.2

Moltiplica

$- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1 \cdot 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 (4 - 1) + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.3.2.2

Sottrai

$1$ da

$4$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 4.2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (2 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 4.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$- 3$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 4.2.4.2.1.2

Moltiplica

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 - - 1)$

Passaggio 4.2.4.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 (- 6 + 1)$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma

$- 6$ e

$1$ .

$- 1 \cdot - 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.5.1.2

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$1 + 6 + 3 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.5.1.3

Moltiplica

$3$ per

$- 5$ .

$1 + 6 - 15$

Passaggio 4.2.5.2

Somma

$1$ e

$6$ .

$7 - 15$

Passaggio 4.2.5.3

Sottrai

$15$ da

$7$ .

$- 8$

$D_{x} = - 8$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 8$ for

$D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 8}{6}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di

$- 8$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi

$2$ da

$- 8$ .

$x = \frac{2 (- 4)}{6}$

Passaggio 4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi

$2$ da

$6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Find the value of

$y$ by Cramer's Rule, which states that

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column

$2$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$y$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & 3 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2

Calcola

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (2 \cdot 2 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$1 (4 - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.2.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$1 (4 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$1 (4 - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.2.2.2

Sottrai

$1$ da

$4$ .

$1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 2 \cdot 2 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 - 3 \cdot - 1) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 (- 4 + 3) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma

$- 4$ e

$3$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 5.2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2)$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 1$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 3 \cdot 2)$

Passaggio 5.2.4.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 (2 - 6)$

Passaggio 5.2.4.2.2

Sottrai

$6$ da

$2$ .

$1 \cdot 3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$3 + 1 \cdot - 1 + 3 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.5.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$3 - 1 + 3 \cdot - 4$

Passaggio 5.2.5.1.3

Moltiplica

$3$ per

$- 4$ .

$3 - 1 - 12$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai

$1$ da

$3$ .

$2 - 12$

Passaggio 5.2.5.3

Sottrai

$12$ da

$2$ .

$- 10$

$D_{y} = - 10$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 10$ for

$D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 10}{6}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di

$- 10$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi

$2$ da

$- 10$ .

$y = \frac{2 (- 5)}{6}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scomponi

$2$ da

$6$ .

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{5}{3}$

Passaggio 6

Find the value of

$z$ by Cramer's Rule, which states that

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Replace column

$3$ of the coefficient matrix that corresponds to the

$z$ -coefficients of the system with

$[\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 1 & 2 \\ 3 & - 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Passaggio 6.2.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2

Calcola

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$1 (- 1 - (- 3 \cdot 2)) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Moltiplica

$- (- 3 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.2.1

Moltiplica

$- 3$ per

$2$ .

$1 (- 1 - - 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.1.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 6$ .

$1 (- 1 + 6) + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.2.2.2

Somma

$- 1$ e

$6$ .

$1 \cdot 5 + 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3

Calcola

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 3 & - 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 5 + 2 (- 2 \cdot - 1 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 1$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 3 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$2$ .

$1 \cdot 5 + 2 (2 - 6) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.3.2.2

Sottrai

$6$ da

$2$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$

Passaggio 6.2.4

Calcola

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 3 & - 3 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice

$2 \times 2$ usando la formula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (- 2 \cdot - 3 - 3 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1.1

Moltiplica

$- 2$ per

$- 3$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.4.2.1.2

Moltiplica

$- 3$ per

$1$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 (6 - 3)$

Passaggio 6.2.4.2.2

Sottrai

$3$ da

$6$ .

$1 \cdot 5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$5 + 2 \cdot - 4 - 1 \cdot 3$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica

$2$ per

$- 4$ .

$5 - 8 - 1 \cdot 3$

Passaggio 6.2.5.1.3

Moltiplica

$- 1$ per

$3$ .

$5 - 8 - 3$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai

$8$ da

$5$ .

$- 3 - 3$

Passaggio 6.2.5.3

Sottrai

$3$ da

$- 3$ .

$- 6$

$D_{z} = - 6$

Passaggio 6.3

Use the formula to solve for

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Passaggio 6.4

Substitute

$6$ for

$D$ and

$- 6$ for

$D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 6}{6}$

Passaggio 6.5

Dividi

$- 6$ per

$6$ .

$z = - 1$

Passaggio 7

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = - \frac{4}{3}$

$y = - \frac{5}{3}$

$z = - 1$