Matematica discreta Esempi

$x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$4^{3} - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

Passaggio 3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 8 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 20$

Passaggio 3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - 8 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 20$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 8$ per $16$ .

$64 - 128 + 21 \cdot 4 - 20$

Passaggio 3.5

Sottrai $128$ da $64$ .

$- 64 + 21 \cdot 4 - 20$

Passaggio 3.6

Moltiplica $21$ per $4$ .

$- 64 + 84 - 20$

Passaggio 3.7

Somma $- 64$ e $84$ .

$20 - 20$

Passaggio 3.8

Sottrai $20$ da $20$ .

$0$

Passaggio 4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20}{x - 4}$

Passaggio 5

Dividi $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ per $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$21 x$

$20$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Passaggio 5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Passaggio 5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$

Passaggio 5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Passaggio 5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} + 16 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Passaggio 5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$

Passaggio 5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Passaggio 5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$

Passaggio 5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							+	$5 x$	-	$20$

Passaggio 5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x - 20$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$

Passaggio 5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$
							+	$5 x$	-	$20$
							-	$5 x$	+	$20$
										$0$

Passaggio 5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 4 x + 5$

Passaggio 6

Scrivi $x^{3} - 8 x^{2} + 21 x - 20$ come insieme di fattori.

$(x - 4) (x^{2} - 4 x + 5)$