Matematica discreta Esempi

$3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$

Passaggio 1

Scomponi $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.\overline{3}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.\overline{3}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.\overline{3}$ nel polinomio.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{4} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $4$ .

$3 \cdot 0.01234567 - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $0.01234567$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $3$ .

$0.\overline{037} - 37 \cdot 0.\overline{037} + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 37$ per $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{037} - 1.37037037 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $1.37037037$ da $0.\overline{037}$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.7

Eleva $0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$- 1.33333333 + 111 \cdot 0.\overline{1} - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $111$ per $0.\overline{1}$ .

$- 1.33333333 + 12.33333333 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 1.33333333$ e $12.33333333$ .

$11 - 45 \cdot 0.\overline{3} + 4$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 45$ per $0.\overline{3}$ .

$11 - 15 + 4$

Passaggio 1.3.11

Sottrai $15$ da $11$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 1.3.12

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.\overline{3}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $3 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4}{3 x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ per $3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 36 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $99 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $99 x^{2} - 33 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $3 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x + 4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$37 x^{3}$

$111 x^{2}$

$45 x$

$4$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$36 x^{3}$

$111 x^{2}$

$36 x^{3}$

$12 x^{2}$

$99 x^{2}$

$45 x$

$99 x^{2}$

$33 x$

$12 x$

$4$

$12 x$

$4$

$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$

Passaggio 1.6

Scrivi $3 x^{4} - 37 x^{3} + 111 x^{2} - 45 x + 4$ come insieme di fattori.

$(3 x - 1) (x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$4^{3} - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

Passaggio 2.1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 12 \cdot 4^{2} + 33 \cdot 4 - 4$

Passaggio 2.1.3.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - 12 \cdot 16 + 33 \cdot 4 - 4$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 12$ per $16$ .

$64 - 192 + 33 \cdot 4 - 4$

Passaggio 2.1.3.5

Sottrai $192$ da $64$ .

$- 128 + 33 \cdot 4 - 4$

Passaggio 2.1.3.6

Moltiplica $33$ per $4$ .

$- 128 + 132 - 4$

Passaggio 2.1.3.7

Somma $- 128$ e $132$ .

$4 - 4$

Passaggio 2.1.3.8

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 2.1.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4}{x - 4}$

Passaggio 2.1.5

Dividi $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ per $x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$33 x$

$4$

Passaggio 2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$

Passaggio 2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

Passaggio 2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$

Passaggio 2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$32 x$

Passaggio 2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 32 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$

Passaggio 2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$

Passaggio 2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

Passaggio 2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$

Passaggio 2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							+	$x$	-	$4$

Passaggio 2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 4$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$

Passaggio 2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$1$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$33 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$33 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$x$	-	$4$
							-	$x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 1$

Passaggio 2.1.6

Scrivi $x^{3} - 12 x^{2} + 33 x - 4$ come insieme di fattori.

$(3 x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 8 x + 1))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (x - 4) (x^{2} - 8 x + 1)$