Matematica discreta Esempi

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 60, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 1.5, \pm 20, \pm 10, \pm 4, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 12, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1.5$ nel polinomio.

$2 \cdot {1.5}^{3} - 5 \cdot {1.5}^{2} - 37 \cdot 1.5 + 60$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1.5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 3.375 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 37 \cdot 1.5 + 60$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3.375$ .

$6.75 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 37 \cdot 1.5 + 60$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1.5$ alla potenza di $2$ .

$6.75 - 5 \cdot 2.25 - 37 \cdot 1.5 + 60$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 5$ per $2.25$ .

$6.75 - 11.25 - 37 \cdot 1.5 + 60$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $11.25$ da $6.75$ .

$- 4.5 - 37 \cdot 1.5 + 60$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 37$ per $1.5$ .

$- 4.5 - 55.5 + 60$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $55.5$ da $- 4.5$ .

$- 60 + 60$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 60$ e $60$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60}{2 x - 3}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$ per $2 x - 3$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$37 x$

$60$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 40 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							-	$40 x$	+	$60$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 40 x + 60$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							+	$40 x$	-	$60$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$37 x$	+	$60$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$60$
							+	$40 x$	-	$60$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 20$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} - 5 x^{2} - 37 x + 60$ come insieme di fattori.

$(2 x - 3) (x^{2} - x - 20)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} - x - 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 5, 4$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(2 x - 3) ((x - 5) (x + 4))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 3) (x - 5) (x + 4)$