Matematica discreta Esempi

p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione

$\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ è indefinita.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola

$lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di

$12 x + 30$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi

$2$ da

$12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi

$2$ da

$30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi

$2$ da

$2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Scomponi

$2$ da

$2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di

$16 x + 40$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi

$4$ da

$16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi

$4$ da

$40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi

$4$ da

$4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Scomponi

$4$ da

$4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di

$x$ nel denominatore, che è

$x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2

Dividi

$6$ per

$1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.5

Calcola il limite di

$6$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.6

Sposta il termine

$15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.7

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di

$x$ nel denominatore, che è

$x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8.1.2

Dividi

$4$ per

$1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune di

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Passaggio 3.8.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.8.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.8.5

Calcola il limite di

$4$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.8.6

Sposta il termine

$10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a

$x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione

$\frac{1}{x}$ tende a

$0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.10

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Calcola il limite di

$1$ che è costante, mentre

$x$ tende a

$\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Dividi

$6 + 15 \cdot 0$ per

$1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Passaggio 3.10.2.2

Dividi

$4 + 10 \cdot 0$ per

$1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3

Elimina il fattore comune di

$6 + 15 \cdot 0$ e

$4 + 10 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Riordina i termini.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.2

Scomponi

$2$ da

$6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.3

Scomponi

$2$ da

$0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.4

Scomponi

$2$ da

$2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.5.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.5.2

Scomponi

$2$ da

$10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Passaggio 3.10.2.3.5.3

Scomponi

$2$ da

$2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Passaggio 3.10.2.3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Passaggio 3.10.2.3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.1

Moltiplica

$0$ per

$15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.4.2

Somma

$3$ e

$0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.5.1

Moltiplica

$5$ per

$0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Passaggio 3.10.2.5.2

Somma

$2$ e

$0$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali:

$y = \frac{3}{2}$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7