Matematica discreta Esempi

$p = \frac{12 z + 30}{2 z} \div \frac{16 z + 40}{4 z}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ è indefinita.

$x = - \frac{5}{2}, x = 0$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{12 x + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riduci.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $12 x + 30$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Scomponi $2$ da $12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 30}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.2

Scomponi $2$ da $30$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x) + 2 \cdot 15}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (6 x) + 2 (15)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 (x)} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (6 x + 15)}{2 x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{16 x + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune di $16 x + 40$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 40}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $4$ da $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x) + 4 \cdot 10}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi $4$ da $4 (4 x) + 4 (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 (x)}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 (4 x + 10)}{4 x}$

Passaggio 3.1.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x} \div \frac{4 x + 10}{x}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 x + 15}{x}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{x} + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.1.2

Dividi $6$ per $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{15}{x}}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} 6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.5

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + lim_{x \to \infty} \frac{15}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.4.6

Sposta il termine $15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 10}{x}}$

Passaggio 3.7

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8.1.2

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{\frac{x}{x}}}$

Passaggio 3.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{10}{x}}{1}}$

Passaggio 3.8.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.8.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.8.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.8.6

Sposta il termine $10$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Passaggio 3.10

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\frac{6 + 15 \cdot 0}{1}}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Passaggio 3.10.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Dividi $6 + 15 \cdot 0$ per $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{\frac{4 + 10 \cdot 0}{1}}$

Passaggio 3.10.2.2

Dividi $4 + 10 \cdot 0$ per $1$ .

$\frac{6 + 15 \cdot 0}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3

Elimina il fattore comune di $6 + 15 \cdot 0$ e $4 + 10 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Riordina i termini.

$\frac{6 + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3) + 0 \cdot 15}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.3

Scomponi $2$ da $0 \cdot 15$ .

$\frac{2 (3) + 2 (0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.4

Scomponi $2$ da $2 (3) + 2 (0 \cdot 15)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{4 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.5.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 10 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.3.5.2

Scomponi $2$ da $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 \cdot 2 + 2 (5 \cdot 0)}$

Passaggio 3.10.2.3.5.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Passaggio 3.10.2.3.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 + 0 \cdot 15)}{2 (2 + 5 \cdot 0)}$

Passaggio 3.10.2.3.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 + 0 \cdot 15}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.1

Moltiplica $0$ per $15$ .

$\frac{3 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{3}{2 + 5 \cdot 0}$

Passaggio 3.10.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.5.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$\frac{3}{2 + 0}$

Passaggio 3.10.2.5.2

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = \frac{3}{2}$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = \frac{3}{2}$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7