Matematica discreta Esempi

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $4 y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

Passaggio 1.1.3

Sposta $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

Passaggio 1.1.4

Sposta $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

Passaggio 1.2

Somma $63$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

Passaggio 1.3

Completa il quadrato per $9 x^{2} - 18 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Passaggio 1.3.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.3.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 9}{9}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 9$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.3.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.3.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Passaggio 1.3.4.2.1.3

Dividi $324$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Passaggio 1.3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 0 - 9$

Passaggio 1.3.4.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$e = - 9$

Passaggio 1.3.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Passaggio 1.4

Sostituisci $9 x^{2} - 18 x$ con $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ nell'equazione $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

Passaggio 1.5

Sposta $- 9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

Passaggio 1.6

Completa il quadrato per $- 4 y^{2} - 24 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Passaggio 1.6.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.6.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.6.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

Passaggio 1.6.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 1.6.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

Passaggio 1.6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

Passaggio 1.6.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.3.2.2.2.1

Scomponi $- 4$ da $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

Passaggio 1.6.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.6.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.6.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 1.6.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.2.1.1

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Passaggio 1.6.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Passaggio 1.6.4.2.1.3

Dividi $576$ per $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Passaggio 1.6.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Passaggio 1.6.4.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$e = 36$

Passaggio 1.6.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

Passaggio 1.7

Sostituisci $- 4 y^{2} - 24 y$ con $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ nell'equazione $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

Passaggio 1.8

Sposta $36$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $36$ a entrambi i lati.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

Passaggio 1.9

Semplifica $63 + 9 - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Somma $63$ e $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

Passaggio 1.9.2

Sottrai $36$ da $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

Passaggio 1.10

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.11

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 5.2.1.3

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

$\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

Passaggio 5.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

Passaggio 5.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Sottrai $6$ da $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Passaggio 5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 6.2.1.3

$x$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

Passaggio 6.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Passaggio 6.2.1.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $6$ da $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ e $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

Asintoti: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 9