Matematica discreta Esempi

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

Passaggio 1

Espandi $(k + 1) (k + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Passaggio 2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica $k$ per $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $k$ per $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $k$ per $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

Passaggio 2.2

Somma $k$ e $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

Passaggio 3

Per scrivere $k^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

Passaggio 4

$k^{2}$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

Passaggio 6

Riordina i termini.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

Passaggio 7

Metti in evidenza $\frac{1}{6}$ in ogni termine.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 9

Moltiplica $k$ per $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 10

Moltiplica $k$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 11

Espandi $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 11.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.2

Moltiplica $k^{2}$ per $k$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Sposta $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.2.2

Moltiplica $k$ per $k^{2}$ .

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Passaggio 12.1.2.2.1

Eleva $k$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $k^{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.5

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1.5.1

Sposta $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.5.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.1.6

Moltiplica $k$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 12.2

Somma $k^{2}$ e $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

Passaggio 13

Sposta $6$ alla sinistra di $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

Passaggio 14

Somma $12 k$ e $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

Passaggio 15

Somma $3 k^{2}$ e $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

Passaggio 16

Scomponi.

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Passaggio 16.1

Riscrivi $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 16.1.1

Scomponi $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 16.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 16.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

Passaggio 16.1.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 16.1.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.6

Somma $- 2$ e $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.7

Moltiplica $13$ per $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.8

Sottrai $13$ da $7$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 16.1.1.3.9

Somma $- 6$ e $6$ .

$0$

Passaggio 16.1.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $k + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

Passaggio 16.1.1.5

Dividi $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ per $k + 1$ .

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Passaggio 16.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

Passaggio 16.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 k^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

Passaggio 16.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

Passaggio 16.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 k^{3} + 2 k^{2}$

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

Passaggio 16.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

Passaggio 16.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Passaggio 16.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 k^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

Passaggio 16.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

Passaggio 16.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 k^{2} + 7 k$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

Passaggio 16.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

Passaggio 16.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Passaggio 16.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 k$ per il termine di ordine più alto nel divisore $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

Passaggio 16.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

Passaggio 16.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 k + 6$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

Passaggio 16.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

Passaggio 16.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

Passaggio 16.1.1.6

Scrivi $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ come insieme di fattori.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

Passaggio 16.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.1.1

Scomponi $7$ da $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

Passaggio 16.1.2.1.1.2

Riscrivi $7$ come $3$ più $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

Passaggio 16.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

Passaggio 16.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

Passaggio 16.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

Passaggio 16.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

Passaggio 16.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

Passaggio 16.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$