Matematica discreta Esempi

$f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ come un'equazione.

$y = (100 - x) (300 + 15 x)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = (100 - y) (300 + 15 y)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $(100 - y) (300 + 15 y) = x$ .

$(100 - y) (300 + 15 y) = x$

Passaggio 3.2

Semplifica $(100 - y) (300 + 15 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Espandi $(100 - y) (300 + 15 y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$100 (300 + 15 y) - y (300 + 15 y) = x$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$100 \cdot 300 + 100 (15 y) - y (300 + 15 y) = x$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$100 \cdot 300 + 100 (15 y) - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Passaggio 3.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $100$ per $300$ .

$30000 + 100 (15 y) - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $15$ per $100$ .

$30000 + 1500 y - y \cdot 300 - y (15 y) = x$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $300$ per $- 1$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - y (15 y) = x$

Passaggio 3.2.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 y \cdot y = x$

Passaggio 3.2.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 (y \cdot y) = x$

Passaggio 3.2.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 1 \cdot 15 y^{2} = x$

Passaggio 3.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$30000 + 1500 y - 300 y - 15 y^{2} = x$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $300 y$ da $1500 y$ .

$30000 + 1200 y - 15 y^{2} = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$30000 + 1200 y - 15 y^{2} - x = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = - 15$ , $b = 1200$ e $c = 30000 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 1200 \pm \sqrt{1200^{2} - 4 \cdot (- 15 \cdot (30000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $1200$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $60$ per $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $1440000$ e $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $60$ da $3240000 - 60 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $60$ da $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $60$ da $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $60$ da $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $60 (54000 - x)$ come $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $1200$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $60$ per $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $1440000$ e $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $60$ da $3240000 - 60 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $60$ da $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $60$ da $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $60$ da $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $60 (54000 - x)$ come $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $1200$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 - 4 \cdot - 15 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot (30000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 60 \cdot 30000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.4

Moltiplica $60$ per $30000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $- 1$ per $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{1440000 + 1800000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.6

Somma $1440000$ e $1800000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{3240000 - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.7

Scomponi $60$ da $3240000 - 60 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.7.1

Scomponi $60$ da $3240000$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) - 60 x}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.7.2

Scomponi $60$ da $- 60 x$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000) + 60 (- x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.7.3

Scomponi $60$ da $60 (54000) + 60 (- x)$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{60 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.8

Riscrivi $60 (54000 - x)$ come $2^{2} \cdot (15 (54000 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.8.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{4 (15) (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{- 1200 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (15 (54000 - x))}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{2 \cdot - 15}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$y = \frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{- 1200 \pm 2 \sqrt{15 (54000 - x)}}{- 30}$ .

$y = \frac{600 \pm \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

$y = \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ è l'inverso di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ e $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 54000]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{15 (54000 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$15 (54000 - x) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 (54000 - x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 (54000 - x) \geq 0$ .

$\frac{15 (54000 - x)}{15} \geq \frac{0}{15}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 (54000 - x)}{15} \geq \frac{0}{15}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $54000 - x$ per $1$ .

$54000 - x \geq \frac{0}{15}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $15$ .

$54000 - x \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $54000$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 54000$

Passaggio 5.3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 54000$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 54000$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 54000}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.3.1

Dividi $- 54000$ per $- 1$ .

$x \leq 54000$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 54000]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ è l'intervallo di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ è il dominio di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$ è l'inverso di $f (x) = (100 - x) (300 + 15 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{600 + \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}, \frac{600 - \sqrt{15 (54000 - x)}}{15}$

Passaggio 6