Matematica discreta Esempi

$f (x) = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$ come un'equazione.

$y = (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} = x$ .

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica ogni lato per $e^{3 y} + 1$ .

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} (e^{3 y} + 1) = x (e^{3 y} + 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{3 y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{3 y}}{e^{3 y} + 1} (e^{3 y} + 1) = x (e^{3 y} + 1)$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{3 y} = x (e^{3 y} + 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica $x (e^{3 y} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{3 y} = x e^{3 y} + x \cdot 1$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$e^{3 y} = x e^{3 y} + x$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x e^{3 y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{3 y} - x e^{3 y} = x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $e^{3 y}$ da $e^{3 y} - x e^{3 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{3 y} \cdot 1 - x e^{3 y} = x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $e^{3 y}$ da $- x e^{3 y}$ .

$e^{3 y} \cdot 1 + e^{3 y} (- x) = x$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $e^{3 y}$ da $e^{3 y} \cdot 1 + e^{3 y} (- x)$ .

$e^{3 y} (1 - x) = x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $e^{3 y} (1 - x) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $e^{3 y} (1 - x) = x$ .

$\frac{e^{3 y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{3 y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $e^{3 y}$ per $1$ .

$e^{3 y} = \frac{x}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Passaggio 3.4.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Espandi $\ln (e^{3 y})$ spostando $3 y$ fuori dal logaritmo.

$3 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Passaggio 3.4.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$3 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Passaggio 3.4.5.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$

Passaggio 3.4.6

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (\frac{x}{1 - x})$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Passaggio 3.4.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Passaggio 3.4.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \frac{\ln (\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1})})}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Riscrivi $e^{3 x}$ come ${(e^{x})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = e^{x}$ e $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) ({(e^{x})}^{2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.4.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{x \cdot 2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1^{2})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.5.4.4

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Riscrivi $e^{3 x}$ come ${(e^{x})}^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{{(e^{x})}^{3} + 1^{3}}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = e^{x}$ e $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) ({(e^{x})}^{2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.4.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{x \cdot 2} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} \cdot 1 + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1^{2})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} - e^{x} + 1)}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.6.4.4

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{1 - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} - \frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.1

Espandi $(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x} e^{2 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{2 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{x + 2 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.1.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + e^{x} (- e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{x} e^{x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.4

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.2.4.1

Sposta $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - (e^{x} e^{x}) + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{x + x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.4.3

Somma $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + 1 e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.5

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 \cdot 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 + 1 (- e^{x}) - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.2.7

Moltiplica $- e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.3

Combina i termini opposti in $e^{3 x} + e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x} + 1 - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.3.3.1

Somma $- e^{2 x}$ e $e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + 0 + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.3.2

Somma $e^{3 x} + e^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + e^{x} + 1 - e^{x} - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.3.3

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + 0 + 1 - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.3.4

Somma $e^{3 x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{e^{3 x} + 1 - e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.4

Sottrai $e^{3 x}$ da $e^{3 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.7.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Combina.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x} \cdot 1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})})})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.8.2

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})})})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.9

Scomponi $\frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}$ da $\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({((e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}))}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({((e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x}) (\frac{e^{3 x}}{(e^{x} + 1) (e^{2 x} + 1 - e^{x})}))}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln ({(e^{3 x})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{3 x})}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 x (\frac{1}{3})})$

Passaggio 5.2.11.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 (x) (\frac{1}{3})})$

Passaggio 5.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{3 x (\frac{1}{3})})$

Passaggio 5.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.12

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.13

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.14

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi le parentesi.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - x})}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Passaggio 5.3.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{e^{3 (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3})} + 1}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi $e^{3 \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}}$ come ${(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3} + 1}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{3} + 1^{3}}$

Passaggio 5.3.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}}$ e $b = 1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.1

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x}{1 - x})} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(e^{\ln ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{1 - x}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.5

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x}{1 - x})})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.6

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(e^{\ln ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})}^{2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3} \cdot 2} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.8.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) ({(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{2}{3}} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{1 - x}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - e^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.10

Riscrivi $\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ .

Passaggio 5.3.5.4.11

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (\frac{x}{1 - x})$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

Passaggio 5.3.5.4.12

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - {(\frac{x}{1 - x})}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.13

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{1 - x}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1^{2})}$

Passaggio 5.3.5.4.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1)}$

Passaggio 5.3.5.4.16

Riordina i termini.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.3.5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.3.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + 1 - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.3.5.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.3.5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}})}$

Passaggio 5.3.5.9

Per scrivere $- \frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Passaggio 5.3.5.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.10.1

Moltiplica $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Passaggio 5.3.5.10.2

Moltiplica ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.10.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Passaggio 5.3.5.10.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Passaggio 5.3.5.10.2.3

Somma $1$ e $1$ .

Passaggio 5.3.5.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 5.3.5.12

Riordina i termini.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $\frac{x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Moltiplica ${(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Passaggio 5.3.7.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Passaggio 5.3.7.1.3

Somma $1$ e $2$ .

Passaggio 5.3.7.1.4

Dividi $3$ per $3$ .

Passaggio 5.3.7.2

Semplifica ${(1 - x)}^{1}$ .

Passaggio 5.3.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = x (\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})})$

Passaggio 5.3.10

$x$ e $\frac{1}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.3.11

Scomponi $- 1$ da $- x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.3.12

Scomponi $- 1$ da $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - 1 (- x^{\frac{2}{3}}) + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.3.13

Scomponi $- 1$ da $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) - 1 (- x^{\frac{2}{3}})$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) + {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.3.14

Scomponi $- 1$ da ${(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) - 1 (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

Passaggio 5.3.15

Scomponi $- 1$ da $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}}) - 1 (- {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

Passaggio 5.3.16

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.16.1

Riscrivi $- (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ come $- 1 (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (- 1 (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}))}$

Passaggio 5.3.16.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}) = - \frac{x}{(x^{\frac{1}{3}} + {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}) (x^{\frac{1}{3}} {(1 - x)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{2}{3}} - {(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{3}$