Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y - 1 = x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - 1 - x = 0$

Passaggio 3.4

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 \cdot - 1 + 2 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y^{2} - 6 y - 2 + 2 (- x) = 0$

Passaggio 3.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 - 2 x = 0$

Passaggio 3.4.3

Sposta $- 2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x - 2 = 0$

Passaggio 3.4.4

Sposta $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x - 6 y - 2 = 0$

Passaggio 3.5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 2 x - 2$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $36$ e $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $4$ da $8 x + 44$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.6

Somma $36$ e $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.7

Scomponi $4$ da $8 x + 44$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.7.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.7.2

Scomponi $4$ da $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 3.9

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.5

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x + 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.6

Somma $36$ e $8$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{8 x + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.7

Scomponi $4$ da $8 x + 44$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.7.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.7.2

Scomponi $4$ da $44$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x) + 4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x) + 4 (11)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (2 x + 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$

Passaggio 3.9.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2 x + 11}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 3.9.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 3.10

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 + \sqrt{2 x + 11}$

$y = 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ e $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $3 + \sqrt{2 x + 11}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x + 11}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x + 11 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x \geq - 11$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq - 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq - 11$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 11}{2}$

Passaggio 5.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 11}{2}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{11}{2}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{11}{2}, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ è il dominio di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ , allora $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 1$ .

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{2 x + 11}, 3 - \sqrt{2 x + 11}$

Passaggio 6