Matematica discreta Esempi

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ come un'equazione.

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per

y

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = y

$a = y$ e

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riduci l'espressione

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi

$y + 1$ per

$1$ .

$y + 1 = x$

Passaggio 3.3

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 1$

Passaggio 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Passaggio 5

Verifica se

$f^{- 1} (x) = x - 1$ è l'inverso di

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola

$f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ sostituendo il valore di

$f$ in

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Passaggio 5.2.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = x$ e

$b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi

$x + 1$ per

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in

$x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai

$1$ da

$1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma

$x$ e

$0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola

$f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola

$f (x - 1)$ sostituendo il valore di

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi

$1$ come

$1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

$a = x - 1$ e

$b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Somma

$- 1$ e

$1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Somma

$x$ e

$0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Sottrai

$1$ da

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai

$1$ da

$- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina il fattore comune di

$x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Dividi

$x$ per

$1$ .

$f (x - 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora

$f^{- 1} (x) = x - 1$ è l'inverso di

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$