Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

Passaggio 3.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{1} = x$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x - 1$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x - 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

Passaggio 5.2.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $x + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x - 1$ e $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

Passaggio 5.3.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (x - 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x - 1$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$