Matematica discreta Esempi

$f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ come un'equazione.

$y = 2 + \sqrt{x + 5}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 + \sqrt{y + 5}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 + \sqrt{y + 5} = x$ .

$2 + \sqrt{y + 5} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{y + 5} = x - 2$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + 5}$ come ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y + 5 = {(x - 2)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 5 = (x - 2) (x - 2)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y + 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y + 5 = x^{2} - 4 x + 4$

Passaggio 3.5

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ è l'inverso di $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = {(2 + \sqrt{x + 5})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi ${(2 + \sqrt{x + 5})}^{2}$ come $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = (2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.2

Espandi $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 (2 + \sqrt{x + 5}) + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{x + 5}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ come $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 5}$ come ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.1.4.5

Semplifica.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.2

Somma $4$ e $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.3.3

Somma $2 \sqrt{x + 5}$ e $2 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

Passaggio 5.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 \cdot 2 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Sottrai $4 \sqrt{x + 5}$ da $4 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 + 0 - 1$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $9 + x - 8$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 - 1$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $8$ da $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{2} - 4 x - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{(x^{2} - 4 x - 1) + 5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 1$ e $5$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + x - 2$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $2 + x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ è l'inverso di $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$