Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{2} - 4 x - 9$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ come un'equazione.

$y = x^{2} - 4 x - 9$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{2} - 4 y - 9$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} - 4 y - 9 = x$ .

$y^{2} - 4 y - 9 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 4 y - 9 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 9 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 9 - x$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Sottrai $9$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $- 4 (- 13 - x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 9 - x$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Sottrai $9$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $- 4 (- 13 - x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Scomponi $- 4$ da ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.1.2

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.1.3

Scomponi $- 4$ da $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 9 - x))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 9 - x$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Sottrai $9$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $- 4 (- 13 - x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 13 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 13 - x)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ e $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 13, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 1 (- 13 - x) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 (- 13 - x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 (- 13 - x) \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 1 (- 13 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{- 13 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Dividi $- 13 - x$ per $1$ .

$- 13 - x \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$- 13 - x \leq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Aggiungi $13$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \leq 13$

Passaggio 5.3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 13$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \leq 13$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{13}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{13}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{13}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.3.1

Dividi $13$ per $- 1$ .

$x \geq - 13$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 13, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ è l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ è il dominio di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ , allora $f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} - 4 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 13 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 13 - x)}$

Passaggio 6