Matematica discreta Esempi

$f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ come un'equazione.

$y = - 3 x^{2} - 6 x + 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - 3 y^{2} - 6 y + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 y^{2} - 6 y + 2 = x$ .

$- 3 y^{2} - 6 y + 2 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} - 6 y + 2 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 3$ , $b = - 6$ e $c = 2 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (2 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (2 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (2 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 2 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.6

Somma $36$ e $24$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{60 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.7

Scomponi $12$ da $60 - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.7.1

Scomponi $12$ da $60$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.7.2

Scomponi $12$ da $- 12 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.7.3

Scomponi $12$ da $12 (5) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.8

Riscrivi $12 (5 - x)$ come $2^{2} \cdot (3 (5 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.8.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3) (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (5 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (5 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{- 6}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (5 - x)}}{- 3}$

Passaggio 3.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 \pm \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (2 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (2 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 2 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $36$ e $24$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{60 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $12$ da $60 - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $12$ da $60$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $12$ da $- 12 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $12$ da $12 (5) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $12 (5 - x)$ come $2^{2} \cdot (3 (5 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3) (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (5 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (5 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{- 6}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (5 - x)}}{- 3}$

Passaggio 3.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 \pm \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 3.6.5

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot (2 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot (2 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 2 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $12$ per $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24 + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $36$ e $24$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{60 - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $12$ da $60 - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $12$ da $60$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5) - 12 x}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $12$ da $- 12 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5) + 12 (- x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $12$ da $12 (5) + 12 (- x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{12 (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $12 (5 - x)$ come $2^{2} \cdot (3 (5 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3) (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (5 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (5 - x))}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{- 6}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3 (5 - x)}}{- 6}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (5 - x)}}{- 3}$

Passaggio 3.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3 \pm \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 3.7.5

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 5]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{3 (5 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 (5 - x) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (5 - x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (5 - x) \geq 0$ .

$\frac{3 (5 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (5 - x)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $5 - x$ per $1$ .

$5 - x \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$5 - x \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 5$

Passaggio 5.3.2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 5$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x \leq 5$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 5]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$ è l'intervallo di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$ è il dominio di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 + \sqrt{3 (5 - x)}}{3}, - \frac{3 - \sqrt{3 (5 - x)}}{3}$

Passaggio 6