Matematica discreta Esempi

$f (x) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ come un'equazione.

$y = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$a = 7 {(2 y)}^{2} + 2 (2 y)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $7 {(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$ .

$7 {(2 y)}^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $2 y$ .

$7 (2^{2} y^{2}) + 2 \cdot (2 y) = a$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$7 (4 y^{2}) + 2 \cdot (2 y) = a$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $7$ .

$28 y^{2} + 2 \cdot (2 y) = a$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$28 y^{2} + 4 y = a$

Passaggio 3.3

Sottrai $a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$28 y^{2} + 4 y - a = 0$

Passaggio 3.4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Sostituisci i valori $a = 28$ , $b = 4$ e $c = - a$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (28 \cdot (- a))}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $- 112$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $16$ da $16 + 112 a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.3.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.3.2

Scomponi $16$ da $112 a$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.3.3

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (7 a)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $16 (1 + 7 a)$ come ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $- 112$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.3

Scomponi $16$ da $16 + 112 a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.3.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.3.2

Scomponi $16$ da $112 a$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.3.3

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (7 a)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $16 (1 + 7 a)$ come ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.7.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.7.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{1 + 7 a}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 7 a})}{14}$

Passaggio 3.7.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 7 a})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 7 a})}{14}$

Passaggio 3.7.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 28 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 28 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 112 \cdot (- 1 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 112$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.3

Scomponi $16$ da $16 + 112 a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.3.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 112 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.3.2

Scomponi $16$ da $112 a$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1) + 16 (7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.3.3

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (7 a)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.4

Riscrivi $16 (1 + 7 a)$ come ${(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.4.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (1 + 7 a)}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{2 \cdot 28}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $28$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{1 + 7 a}}{56}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.8.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

Passaggio 3.8.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 - \sqrt{1 + 7 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.5.1

Riordina $1$ e $7 a$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Passaggio 3.8.5.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Passaggio 3.8.5.3

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{7 a + 1}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{7 a + 1})}{14}$

Passaggio 3.8.5.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{7 a + 1})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{7 a + 1})}{14}$

Passaggio 3.8.5.5

Riscrivi $- 1 (1 + \sqrt{7 a + 1})$ come $- (1 + \sqrt{7 a + 1})$ .

$y = \frac{- (1 + \sqrt{7 a + 1})}{14}$

Passaggio 3.8.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (a)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ è l'inverso di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ e $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{1}{7}, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 + 7 a}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 + 7 a \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$7 a \geq - 1$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 a \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 a \geq - 1$ .

$\frac{7 a}{7} \geq \frac{- 1}{7}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 a}{7} \geq \frac{- 1}{7}$

Passaggio 5.3.2.2.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a \geq \frac{- 1}{7}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a \geq - \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $a$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{1}{7}, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ è l'intervallo di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ e l'intervallo di $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ è il dominio di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ , allora $f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$ è l'inverso di $f (a) = 7 {(2 a)}^{2} + 2 (2 a)$ .

$f^{- 1} (a) = - \frac{1 - \sqrt{1 + 7 a}}{14}, - \frac{1 + \sqrt{7 a + 1}}{14}$

Passaggio 6