Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log (4 y) = 2 x$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\log (4 y) = 2 x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 10^{2 x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = 10^{2 x}$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica $1 \cdot \log (4 x)$ spostando $1$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

Passaggio 5.2.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.3.4

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

Passaggio 5.3.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $2 x$ dall'esponente.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

Passaggio 5.3.5

Il logaritmo in base $10$ di $10$ è $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$