Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} y^{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x$

Passaggio 3.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 x$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 3.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

Passaggio 3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 x$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 x}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 x}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\sqrt{2 x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{2 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \geq 0$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ è l'intervallo di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ è il dominio di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

Passaggio 6