Matematica discreta Esempi

$s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$

Passaggio 1

Scrivi $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ come un'equazione.

$y = - 16 t^{2} + 32 t$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$t = - 16 y^{2} + 32 y$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- 16 y^{2} + 32 y = t$ .

$- 16 y^{2} + 32 y = t$

Passaggio 3.2

Sottrai $t$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 16 y^{2} + 32 y - t = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 16$ , $b = 32$ e $c = - t$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (- 16 \cdot (- t))}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $64$ da $1024 - 64 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.3.1

Scomponi $64$ da $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.3.2

Scomponi $64$ da $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.3.3

Scomponi $64$ da $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.4

Riscrivi $64 (16 - t)$ come $8^{2} (4^{2} - t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.4.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.2.2

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.3

Scomponi $64$ da $1024 - 64 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.3.1

Scomponi $64$ da $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.3.2

Scomponi $64$ da $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.3.3

Scomponi $64$ da $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.4

Riscrivi $64 (16 - t)$ come $8^{2} (4^{2} - t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.4.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $32$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot - 16 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 16 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 + 64 \cdot (- 1 t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.2.2

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.3

Scomponi $64$ da $1024 - 64 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.3.1

Scomponi $64$ da $1024$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) - 64 t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.3.2

Scomponi $64$ da $- 64 t$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16) + 64 (- t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.3.3

Scomponi $64$ da $64 (16) + 64 (- t)$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{64 (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.4

Riscrivi $64 (16 - t)$ come $8^{2} (4^{2} - t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.4.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (16 - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{- 32 \pm \sqrt{8^{2} (4^{2} - t)}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{4^{2} - t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{2 \cdot - 16}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$y = \frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 32 \pm 8 \sqrt{16 - t}}{- 32}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$

$y = \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ è l'inverso di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ e $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 16]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{16 - t}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$16 - t \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- t \geq - 16$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t \geq - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- t \geq - 16$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- t}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{t}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $t$ per $1$ .

$t \leq \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$t \leq 16$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $t$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 16]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ è l'intervallo di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ e l'intervallo di $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ è il dominio di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ , allora $s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$ è l'inverso di $s (t) = - 16 t^{2} + 32 t$ .

$s^{- 1} (t) = \frac{4 + \sqrt{16 - t}}{4}, \frac{4 - \sqrt{16 - t}}{4}$

Passaggio 6