Matematica discreta Esempi

$P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$

Passaggio 1

Scrivi $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ come un'equazione.

$y = - x^{2} + 90 x - 2000$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - y^{2} + 90 y - 2000$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- y^{2} + 90 y - 2000 = x$ .

$- y^{2} + 90 y - 2000 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} + 90 y - 2000 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 90$ e $c = - 2000 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 90 \pm \sqrt{90^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- 2000 - x))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $90$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $4$ per $- 2000$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Sottrai $8000$ da $8100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7

Scomponi $4$ da $100 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.8

Riscrivi $4 (25 - x)$ come $2^{2} (5^{2} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.8.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ .

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $90$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $4$ per $- 2000$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Sottrai $8000$ da $8100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $4$ da $100 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $4 (25 - x)$ come $2^{2} (5^{2} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ .

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $90$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot (- 2000 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 + 4 \cdot - 2000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $4$ per $- 2000$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{8100 - 8000 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Sottrai $8000$ da $8100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{100 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $4$ da $100 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $100$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (25) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{4 (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $4 (25 - x)$ come $2^{2} (5^{2} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (25 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$y = \frac{- 90 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{5^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.10

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 90 \pm 2 \sqrt{25 - x}}{- 2}$ .

$y = 45 \pm \sqrt{25 - x}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

$y = 45 + \sqrt{25 - x}$

$y = 45 - \sqrt{25 - x}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ è l'inverso di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ e $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 25]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $45 + \sqrt{25 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{25 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$25 - x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 25$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 25$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 25$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 25}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 25$ per $- 1$ .

$x \leq 25$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 25]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ è l'intervallo di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ e l'intervallo di $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ è il dominio di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ , allora $P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$ è l'inverso di $P (x) = - x^{2} + 90 x - 2000$ .

$P^{- 1} (x) = 45 + \sqrt{25 - x}, 45 - \sqrt{25 - x}$

Passaggio 6