Matematica discreta Esempi

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Passaggio 1

Scrivi

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ come un'equazione.

y = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

x = sin (\sqrt{e^{y} + 1})

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Passaggio 3

Risolvi per

y

$y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Passaggio 3.2

Sostituisci

u

$u$ a

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ .

sin (u) = x

$\sin (u) = x$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita

u

$u$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

u = arcsin (x)

$u = \arcsin (x)$

Passaggio 3.4

Sostituisci

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ a

u

$u$ e risolvi

\sqrt{e^{y} + 1} = arcsin (x)

$\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Passaggio 3.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

{\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {arcsin (x)}^{2}

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{e^{y} + 1}$ come

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Semplifica.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Risolvi per

$y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Sottrai

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Passaggio 3.4.3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.3.3.1

Espandi

$\ln (e^{y})$ spostando

$y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3.2

Il logaritmo naturale di

$e$ è

$1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3.3

Moltiplica

$y$ per

$1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 4

Sostituisci

$y$ con

$f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 5

Verifica se

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ è l'inverso di

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola

$f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ sostituendo il valore di

$f$ in

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Passaggio 5.3

Calcola

$f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ sostituendo il valore di

$f^{- 1}$ in

$f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Passaggio 5.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Passaggio 5.3.4

Somma

$- 1$ e

$1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Passaggio 5.3.5

Somma

${\arcsin (x)}^{2}$ e

$0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Passaggio 5.3.7

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Passaggio 5.4

Poiché

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ è l'inverso di

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$