Matematica discreta Esempi

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ come un'equazione.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

Passaggio 3.2

Sostituisci $u$ a $\sqrt{e^{y} + 1}$ .

$\sin (u) = x$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $u$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$u = \arcsin (x)$

Passaggio 3.4

Sostituisci $\sqrt{e^{y} + 1}$ a $u$ e risolvi $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

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Passaggio 3.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{y} + 1}$ come ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Semplifica.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

Passaggio 3.4.3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.3.3.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 3.4.3.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ è l'inverso di $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

Passaggio 5.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

Passaggio 5.3.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

Passaggio 5.3.5

Somma ${\arcsin (x)}^{2}$ e $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

Passaggio 5.3.7

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ è l'inverso di $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$