Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{x - 3}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x - 3}{x}$ come un'equazione.

$y = \frac{x - 3}{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y - 3}{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y - 3}{y} = x$ .

$\frac{y - 3}{y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $\frac{y - 3}{y} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y - 3}{y} = x$ per $y$ .

$\frac{y - 3}{y} y = x y$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 3}{y} y = x y$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y - 3 = x y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 3 - x y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - x y = 3$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 3$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 3$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 3$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = 3$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3}{1 - x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x - 3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x - 3}{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{1 - (\frac{x - 3}{x})}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x}{x} - \frac{x - 3}{x}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x - (x - 3)}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $\frac{x - (x - 3)}{x}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x - x + 3}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{x - x + 3}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{0 + 3}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.4

Somma $0$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = \frac{3}{\frac{3}{x}}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x - 3}{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{3}{1 - x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{(\frac{3}{1 - x}) - 3}{\frac{3}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3}{1 - x}) = (\frac{3}{1 - x} - 3) (\frac{1 - x}{3})$

Passaggio 5.3.4

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = (\frac{3}{1 - x} - 3 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (\frac{1 - x}{3})$

Passaggio 5.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

$- 3$ e $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = (\frac{3}{1 - x} + \frac{- 3 (1 - x)}{1 - x}) (\frac{1 - x}{3})$

Passaggio 5.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 - 3 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $3$ da $3 - 3 (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1) - 3 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 (1 - x)$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1) + 3 (- (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.1.3

Scomponi $3$ da $3 (1) + 3 (- (1 - x))$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 \cdot 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.4

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 + 1 x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (1 - 1 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (0 + x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.6.6

Somma $0$ e $x$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 (x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.7.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{3 x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{3}$

Passaggio 5.3.7.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

Passaggio 5.3.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3}{1 - x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x - 3}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{1 - x}$