Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ come un'equazione.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

Passaggio 3.3.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ per $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

Passaggio 3.3.1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Passaggio 3.3.1.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Elimina il fattore comune di $y + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

Passaggio 3.3.1.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Elimina il fattore comune di $y - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

Passaggio 3.3.1.4.2.2

Dividi $8 y$ per $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $8 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

Passaggio 3.4.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci i valori $a = x$ , $b = - 8$ e $c = - 64 x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.3.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.5

Scomponi $64$ da $64 + 256 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.5.1

Scomponi $64$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.5.2

Scomponi $64$ da $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.5.3

Scomponi $64$ da $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.6

Riscrivi $64 (1 + 4 x^{2})$ come $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.6.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.3.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.5

Scomponi $64$ da $64 + 256 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.5.1

Scomponi $64$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.5.2

Scomponi $64$ da $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.5.3

Scomponi $64$ da $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.6

Riscrivi $64 (1 + 4 x^{2})$ come $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1.6.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.5.2

Semplifica $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.5.4

Scomponi $4$ da $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.5.4.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.3.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.5

Scomponi $64$ da $64 + 256 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.5.1

Scomponi $64$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.5.2

Scomponi $64$ da $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.5.3

Scomponi $64$ da $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.6

Riscrivi $64 (1 + 4 x^{2})$ come $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1.6.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

Passaggio 3.4.6.2

Semplifica $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.6.4

Scomponi $4$ da $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.4.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

Passaggio 3.4.6.4.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Passaggio 3.4.6.4.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Passaggio 3.4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x^{2} \geq - 1$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} \geq - 1$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3.2.3

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 5.3.3

Imposta il denominatore in $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 5.3.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ non è un inverso di $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 6