Matematica discreta Esempi

$f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ come un'equazione.

$y = \log_{\frac{1}{5}} (x)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \log_{\frac{1}{5}} (y)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ .

$\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\log_{\frac{1}{5}} (y) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{5})}^{x} = y$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ .

$y = {(\frac{1}{5})}^{x}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ${(\frac{1}{5})}^{x}$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1^{x}}{5^{x}}$

Passaggio 3.3.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = \frac{1}{5^{x}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{\frac{1}{5}} (x)) = \frac{1}{5^{\log_{\frac{1}{5}} (x)}}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{1}{5^{x}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{5^{x}}) = \log_{\frac{1}{5}} (\frac{1}{5^{x}})$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$ è l'inverso di $f (x) = \log_{\frac{1}{5}} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{5^{x}}$