Matematica discreta Esempi

$y = x^{2} - 6 x + 14$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = y^{2} - 6 y + 14$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} - 6 y + 14 = x$ .

$y^{2} - 6 y + 14 = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 6 y + 14 - x = 0$

Passaggio 2.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = 14 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (14 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (14 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (14 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 14 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.4

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.6

Sottrai $56$ da $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.7

Scomponi $4$ da $- 20 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot - 5 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot - 5 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 5 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 5 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (14 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (14 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 14 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.6

Sottrai $56$ da $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.7

Scomponi $4$ da $- 20 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot - 5 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot - 5 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 5 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 5 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2}$

Passaggio 2.6.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 2.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 3 + \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (14 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (14 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 14 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.4

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 56 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.6

Sottrai $56$ da $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 20 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.7

Scomponi $4$ da $- 20 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $- 20$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot - 5 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot - 5 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 5 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 5 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 5 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 2.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 3 - \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 3 + \sqrt{- 5 + x}$

$y = 3 - \sqrt{- 5 + x}$

$y = 3 + \sqrt{- 5 + x}$

$y = 3 - \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ .

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Passaggio 4.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ e $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$ e confrontali.

Passaggio 4.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[5, \infty)$

Passaggio 4.3

Trova il dominio di $3 + \sqrt{- 5 + x}$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- 5 + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 5 + x \geq 0$

Passaggio 4.3.2

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 5$

Passaggio 4.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[5, \infty)$

Passaggio 4.4

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ .

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Passaggio 4.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$ è l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$ è il dominio di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ , allora $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} - 6 x + 14$ .

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{- 5 + x}, 3 - \sqrt{- 5 + x}$

Passaggio 5