Matematica discreta Esempi

$y = \sqrt{4 x} - 2$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{4 y} - 2$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{4 y} - 2 = x$ .

$\sqrt{4 y} - 2 = x$

Passaggio 2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 y} = x + 2$

Passaggio 2.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 y}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 y}$ come ${(4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 y)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Semplifica.

$4 y = {(x + 2)}^{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica ${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 y = (x + 2) (x + 2)$

Passaggio 2.4.3.1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Passaggio 2.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Passaggio 2.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4 y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Passaggio 2.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Passaggio 2.4.3.1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$4 y = x^{2} + 4 x + 4$

Passaggio 2.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} + 4 x + 4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.3.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Dividi $4$ per $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(\sqrt{4 x} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x}$ come ${(4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.2

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(4^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2^{2 (\frac{1}{2})} x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.6

Calcola l'esponente.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 x^{\frac{1}{2}} - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.7

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1.7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) - 2)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.7.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.7.3

Scomponi $2$ da $2 (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{{(2 (x^{\frac{1}{2}} - 1))}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.8

Applica la regola del prodotto a $2 (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{2^{2} {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}{4} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.3

Dividi ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = {(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2} + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.4

Riscrivi ${(x^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}$ come $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.5

Espandi $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 (x^{\frac{1}{2}} - 1) + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.1.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.2

Semplifica $x^{1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.4

Riscrivi $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ come $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.5

Riscrivi $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ come $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.6.2

Sottrai $x^{\frac{1}{2}}$ da $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{4 x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + \sqrt{2^{2} x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.4.8

Estrai i termini dal radicale.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 + 2 \sqrt{x} - 2 + 1$

Passaggio 4.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$

Passaggio 4.2.5.2

Combina i termini opposti in $x - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 2 \sqrt{x}$

Passaggio 4.2.5.2.2

Somma $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x} - 2) = x - 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{x}$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + x + 1)} - 2$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{2^{2}} + x + 1)} - 2$

Passaggio 4.3.3.1.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1)} - 2$

Passaggio 4.3.3.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + x + 1^{2})} - 2$

Passaggio 4.3.3.1.4

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$x = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.3.3.1.5

Riscrivi il polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 ({(\frac{x}{2})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot 1 + 1^{2})} - 2$

Passaggio 4.3.3.1.6

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + 1)}^{2}} - 2$

Passaggio 4.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x}{2} + \frac{2}{2})}^{2}} - 2$

Passaggio 4.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 {(\frac{x + 2}{2})}^{2}} - 2$

Passaggio 4.3.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{2^{2}})} - 2$

Passaggio 4.3.3.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{4 (\frac{{(x + 2)}^{2}}{4})} - 2$

Passaggio 4.3.3.6

$4$ e $\frac{{(x + 2)}^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Passaggio 4.3.3.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.7.1

Riduci l'espressione $\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{4 {(x + 2)}^{2}}{4}} - 2$

Passaggio 4.3.3.7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{\frac{{(x + 2)}^{2}}{1}} - 2$

Passaggio 4.3.3.7.2

Dividi ${(x + 2)}^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} - 2$

Passaggio 4.3.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 2 - 2$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x + 0$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + x + 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 x} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + x + 1$