Matematica discreta Esempi

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

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Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 1.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$4 \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot 27 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.3

Moltiplica $4$ per $27$ .

$108 - 9 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$108 - 9 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.5

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$108 - 81 - 8 \cdot 3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.6

Sottrai $81$ da $108$ .

$27 - 8 \cdot 3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.7

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$27 - 24 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.8

Sottrai $24$ da $27$ .

$3 - 3$

Passaggio 1.2.2.3.9

Sottrai $3$ da $3$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3}{x - 3}$

Passaggio 1.2.2.5

Dividi $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ per $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$8 x$

$3$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$

Passaggio 1.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			+	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} - 12 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 1.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Passaggio 1.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - 9 x$

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Passaggio 1.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$

Passaggio 1.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Passaggio 1.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$

Passaggio 1.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							+	$x$	-	$3$

Passaggio 1.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x - 3$

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$

Passaggio 1.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$3 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	-	$8 x$	-	$3$
			-	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$x$	-	$3$
							-	$x$	+	$3$
										$0$

Passaggio 1.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$4 x^{2} + 3 x + 1$

Passaggio 1.2.2.6

Scrivi $4 x^{3} - 9 x^{2} - 8 x - 3$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.5

Imposta $4 x^{2} + 3 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $4 x^{2} + 3 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $4 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 3$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (7)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.3

Sottrai $16$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (7)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{7})}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{7})}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.3

Sottrai $16$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (7)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{7})}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{7})}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (4 x^{2} + 3 x + 1) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - i \sqrt{7}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{7}}{8}$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(3, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.1.5

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 3$

Passaggio 2.2.4.2.3

Sottrai $3$ da $0$ .

$y = - 3$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 3)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(3, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 3)$

Passaggio 4