Matematica discreta Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3 x^{2} - 5$ come un'equazione.

$y = 3 x^{2} - 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3 y^{2} - 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 y^{2} - 5 = x$ .

$3 y^{2} - 5 = x$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} = x + 5$

Passaggio 3.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y^{2} = x + 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y^{2} = x + 5$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 5}{3}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{x + 5}{3}}$ come $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x + 5}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 5} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.5.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.5.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x + 5) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 5, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{3 (x + 5)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$3 (x + 5) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 5) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 (x + 5) \geq 0$ .

$\frac{3 (x + 5)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (x + 5)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $x + 5$ per $1$ .

$x + 5 \geq \frac{0}{3}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x + 5 \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 5$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 5, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$ è l'intervallo di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$ è il dominio di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = 3 x^{2} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x + 5)}}{3}$

Passaggio 6