Matematica discreta Esempi

${(1 + 2 i)}^{3}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(1 + 2 i)}^{3}$ , $n = 3$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $4$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $1$ e $b$ $2 i$ nell'espressione.

$1 {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1^{1} {(1)}^{3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{1 + 3} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$1^{4} {(2 i)}^{0} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica $1^{4} {(2 i)}^{0}$ .

$1^{4} + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 {(1)}^{2} {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 3 {(2 i)}^{1} + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

$1 + 3 (2 i) + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$1 + 6 i + 3 {(1)}^{1} {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.8

Calcola l'esponente.

$1 + 6 i + 3 \cdot 1 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 + 6 i + 3 {(2 i)}^{2} + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.10

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$1 + 6 i + 3 (2^{2} i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$1 + 6 i + 3 (4 i^{2}) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.12

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 (4 \cdot - 1) + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $3 (4 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$1 + 6 i + 3 \cdot - 4 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.13.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$1 + 6 i - 12 + 1 {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.14

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.14.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.14.1.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(1)}^{0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.14.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 + 6 i - 12 + 1^{1 + 0} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.14.2

Somma $1$ e $0$ .

$1 + 6 i - 12 + 1^{1} {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.15

Semplifica $1^{1} {(2 i)}^{3}$ .

$1 + 6 i - 12 + {(2 i)}^{3}$

Passaggio 4.1.16

Applica la regola del prodotto a $2 i$ .

$1 + 6 i - 12 + 2^{3} i^{3}$

Passaggio 4.1.17

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 i^{3}$

Passaggio 4.1.18

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (i^{2} \cdot i)$

Passaggio 4.1.19

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- 1 \cdot i)$

Passaggio 4.1.20

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$1 + 6 i - 12 + 8 (- i)$

Passaggio 4.1.21

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$1 + 6 i - 12 - 8 i$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $12$ da $1$ .

$- 11 + 6 i - 8 i$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $8 i$ da $6 i$ .

$- 11 - 2 i$