Matematica discreta Esempi

$x^{5} - 25 x^{3} < 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{5} - 25 x^{3} = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5} - 25 x^{3}$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 25 x^{3} = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 25 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 25$ .

$x^{3} (x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi.

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Passaggio 2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$x^{3} ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{3} (x + 5) (x - 5) = 0$ vera.

$x = 0, - 5, 5$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

${(- 8)}^{5} - 25 {(- 8)}^{3} < 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 19968$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

${(- 2)}^{5} - 25 {(- 2)}^{3} < 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $168$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{5} - 25 {(2)}^{3} < 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $- 168$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{5} - 25 {(8)}^{3} < 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $19968$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 5$ o $0 < x < 5$

Passaggio 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 5)$

Passaggio 12