Matematica discreta Esempi

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$0$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $b = 0$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

Passaggio 4.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$0 + 0 + 2 (0)$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $0$ è una radice nota, dividi il polinomio per $b + 0$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(3)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 5)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(2)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(0)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$3 b^{2} - 5 b + 2$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 b$ .

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $- 5$ come $- 2$ più $- 3$ .

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 b - 2$ .

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Scomponi $b$ da $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ .

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $b$ da $3 b^{3}$ .

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $b$ da $- 5 b^{2}$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

Passaggio 8.1.3

Scomponi $b$ da $2 b$ .

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Passaggio 8.1.4

Scomponi $b$ da $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ .

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $b$ da $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

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Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 8.2.1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 b$ .

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $- 2$ più $- 3$ .

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 b - 2$ .

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

Passaggio 10

Imposta $b$ uguale a $0$ .

$b = 0$

Passaggio 11

Imposta $3 b - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $3 b - 2$ uguale a $0$ .

$3 b - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $3 b - 2 = 0$ per $b$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 b = 2$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 b = 2$ e semplifica.

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Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 b = 2$ .

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $b$ per $1$ .

$b = \frac{2}{3}$

Passaggio 12

Imposta $b - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $b$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $b - 1$ uguale a $0$ .

$b - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = 1$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ vera.

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

Passaggio 14