Matematica discreta Esempi

$42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 7, \pm 14, \pm 21, \pm 42$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{1}{14}, \pm \frac{1}{21}, \pm \frac{1}{42}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{7}, \pm \frac{2}{21}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{7}, \pm \frac{4}{21}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}, \pm \frac{8}{7}, \pm \frac{8}{21}, \pm 16, \pm \frac{16}{3}, \pm \frac{16}{7}, \pm \frac{16}{21}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$42 {(- 4)}^{4} + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - 4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $4$ .

$42 \cdot 256 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $42$ per $256$ .

$10752 + 335 {(- 4)}^{3} + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$10752 + 335 \cdot - 64 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $335$ per $- 64$ .

$10752 - 21440 + 663 {(- 4)}^{2} - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4.1.5

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$10752 - 21440 + 663 \cdot 16 - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $663$ per $16$ .

$10752 - 21440 + 10608 - 24 \cdot - 4 - 16$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica $- 24$ per $- 4$ .

$10752 - 21440 + 10608 + 96 - 16$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $21440$ da $10752$ .

$- 10688 + 10608 + 96 - 16$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 10688$ e $10608$ .

$- 80 + 96 - 16$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 80$ e $96$ .

$16 - 16$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- 4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16}{x + 4}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(42)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$

	$42$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(42)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(- 168)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(335)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$
	$42$	$167$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(167)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(- 668)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(663)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$
	$42$	$167$	$- 5$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 5)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(20)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 24)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(- 4)$ e posiziona il risultato di $(16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 4$	$42$	$335$	$663$	$- 24$	$- 16$
		$- 168$	$- 668$	$20$	$16$
	$42$	$167$	$- 5$	$- 4$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$42 x^{3} + 167 x^{2} + (- 5) x - 4$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 7.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 42, \pm 2, \pm 21, \pm 3, \pm 14, \pm 6, \pm 7$

Passaggio 7.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{238095}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.0\overline{714285}, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{095238}, \pm 2, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{571428}$

Passaggio 7.1.1.3

Sostituisci $- 0.\overline{142857}$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.\overline{142857}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 7.1.1.3.1

Sostituisci $- 0.\overline{142857}$ nel polinomio.

$42 {(- 0.\overline{142857})}^{3} + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{142857}$ alla potenza di $3$ .

$42 \cdot - 0.00291545 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.3

Moltiplica $42$ per $- 0.00291545$ .

$- 0.12244897 + 167 {(- 0.\overline{142857})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{142857}$ alla potenza di $2$ .

$- 0.12244897 + 167 \cdot 0.02040816 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.5

Moltiplica $167$ per $0.02040816$ .

$- 0.12244897 + 3.40816326 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.6

Somma $- 0.12244897$ e $3.40816326$ .

$3.28571428 - 5 \cdot - 0.\overline{142857} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.7

Moltiplica $- 5$ per $- 0.\overline{142857}$ .

$3.28571428 + 0.\overline{714285} - 4$

Passaggio 7.1.1.3.8

Somma $3.28571428$ e $0.\overline{714285}$ .

$4 - 4$

Passaggio 7.1.1.3.9

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 7.1.1.4

Poiché $- 0.\overline{142857}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $7 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4}{7 x + 1}$

Passaggio 7.1.1.5

Dividi $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ per $7 x + 1$ .

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Passaggio 7.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$7 x$

$1$

$42 x^{3}$

$167 x^{2}$

$5 x$

$4$

Passaggio 7.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $42 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

					$6 x^{2}$
	$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$

Passaggio 7.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			+	$42 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $42 x^{3} + 6 x^{2}$

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$

Passaggio 7.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$6 x^{2}$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 7.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $161 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 7.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$161 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 7.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $161 x^{2} + 23 x$

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$

Passaggio 7.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$

Passaggio 7.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Passaggio 7.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 28 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $7 x$ .

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$

Passaggio 7.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							-	$28 x$	-	$4$

Passaggio 7.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 28 x - 4$

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$

Passaggio 7.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$6 x^{2}$	+	$23 x$	-	$4$
$7 x$	+	$1$		$42 x^{3}$	+	$167 x^{2}$	-	$5 x$	-	$4$
			-	$42 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$161 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$161 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$28 x$	-	$4$
							+	$28 x$	+	$4$
										$0$

Passaggio 7.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$6 x^{2} + 23 x - 4$

Passaggio 7.1.1.6

Scrivi $42 x^{3} + 167 x^{2} - 5 x - 4$ come insieme di fattori.

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 x - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e la cui somma è $b = 23$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.1.1

Scomponi $23$ da $23 x$ .

$(7 x + 1) (6 x^{2} + 23 (x) - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.2

Riscrivi $23$ come $- 1$ più $24$ .

$(7 x + 1) (6 x^{2} + (- 1 + 24) x - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(7 x + 1) (6 x^{2} - 1 x + 24 x - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(7 x + 1) ((6 x^{2} - 1 x) + 24 x - 4) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(7 x + 1) (x (6 x - 1) + 4 (6 x - 1)) = 0$

Passaggio 7.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $6 x - 1$ .

$(7 x + 1) ((6 x - 1) (x + 4)) = 0$

Passaggio 7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$

Passaggio 7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$7 x + 1 = 0$

$6 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 7.3

Imposta $7 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Imposta $7 x + 1$ uguale a $0$ .

$7 x + 1 = 0$

Passaggio 7.3.2

Risolvi $7 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = - 1$

Passaggio 7.3.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = - 1$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 7.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 7.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 7.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{7}$

Passaggio 7.4

Imposta $6 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Imposta $6 x - 1$ uguale a $0$ .

$6 x - 1 = 0$

Passaggio 7.4.2

Risolvi $6 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 x = 1$

Passaggio 7.4.2.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = 1$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Passaggio 7.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{1}{6}$

Passaggio 7.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{6}$

Passaggio 7.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(7 x + 1) (6 x - 1) (x + 4) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, - 4$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x + 4) (x + \frac{1}{7}) (x - \frac{1}{6})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $42 x^{4} + 335 x^{3} + 663 x^{2} - 24 x - 16$ .

$x = - 4, - \frac{1}{7}, \frac{1}{6}$

Passaggio 10