Matematica discreta Esempi

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(1)}^{3} - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 - 4 {(1)}^{2} - 16 \cdot 1 + 16$

Passaggio 4.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 - 4 \cdot 1 - 16 \cdot 1 + 16$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$4 - 4 - 16 \cdot 1 + 16$

Passaggio 4.1.5

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$4 - 4 - 16 + 16$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$0 - 16 + 16$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$
	$4$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$
	$4$	$0$	$- 16$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 16)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(16)$ .

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$4$	$- 4$	$- 16$	$16$
		$4$	$0$	$- 16$
	$4$	$0$	$- 16$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$4 x^{2} + 0 x - 16$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 x^{2} - 16$

Passaggio 7

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 16$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2}) - 16)$

Passaggio 7.2

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$(x - 1) (4 x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Passaggio 7.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 4))$

Passaggio 8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 1) (4 (x^{2} - 2^{2}))$

Passaggio 9

Scomponi.

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Passaggio 9.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) (4 ((x + 2) (x - 2)))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (4 (x + 2) (x - 2))$

Passaggio 10

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 10.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 16$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 4 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

Passaggio 10.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) - 16 x + 16 = 0$

Passaggio 10.1.3

Scomponi $4$ da $- 16 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16 = 0$

Passaggio 10.1.4

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Passaggio 10.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{3}) + 4 (- x^{2})$ .

$4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (4) = 0$

Passaggio 10.1.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4) = 0$

Passaggio 10.1.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - x^{2} - 4 x) + 4 (4)$ .

$4 (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 10.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 10.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4) = 0$

Passaggio 10.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Passaggio 10.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Passaggio 10.5

Scomponi.

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Passaggio 10.5.1

Scomponi.

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Passaggio 10.5.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 ((x - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Passaggio 10.5.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 ((x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 10.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 13

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 13.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 14

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 1, - 2, 2$

Passaggio 16