Matematica discreta Esempi

$2 x^{2} - 9 x - 5 < 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ e la cui somma è $b = - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $- 9$ come $1$ più $- 10$ .

$2 x^{2} + (1 - 10) x - 5 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 10 x - 5 = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 10 x - 5 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 10 x - 5 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - 5 (2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 5) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 4

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 5) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 5$

Passaggio 7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 5 < 0$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di $40$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 5 < 0$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$2 {(8)}^{2} - 9 \cdot 8 - 5 < 0$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di $51$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{1}{2} < x < 5$

Passaggio 10

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \frac{1}{2}, 5)$

Passaggio 11