Matematica discreta Esempi

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{1}{2}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

Passaggio 4.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

Passaggio 4.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

Passaggio 4.1.8

$15$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $1$ e $15$ .

$- 4 + \frac{16}{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $16$ per $4$ .

$- 4 + 4$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 4$ e $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{1}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(4)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(15)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(16)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(8)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(\frac{1}{2})$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $16 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $8$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

Passaggio 7.6

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

Passaggio 7.7

Scomponi $2$ da $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

Passaggio 8

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

Passaggio 8.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

Passaggio 9

Scomponi.

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Passaggio 9.1

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

Passaggio 9.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

Passaggio 10

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 11

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 11.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ e la cui somma è $b = 15$ .

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Passaggio 11.1.1

Scomponi $15$ da $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Passaggio 11.1.2

Riscrivi $15$ come $- 1$ più $16$ .

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Passaggio 11.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Passaggio 11.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 11.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Passaggio 11.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Passaggio 11.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

Passaggio 13

Imposta $4 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $4 u - 1$ uguale a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $4 u - 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 u = 1$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 1$ e semplifica.

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Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 u = 1$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Passaggio 14

Imposta $u + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $u + 4$ uguale a $0$ .

$u + 4 = 0$

Passaggio 14.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 4$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{4}, - 4$

Passaggio 16

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Passaggio 17

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 18

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 18.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 18.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 18.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 18.2.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 18.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 18.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 18.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 18.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 18.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 18.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 19

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Passaggio 20

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 20.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 20.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 20.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 20.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 20.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 20.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 20.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 20.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 20.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 20.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 20.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 21

La soluzione di $4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ è $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

Passaggio 22